Номер 7.1, страница 54 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите уравнения (7.1–7.4):

7.1.а) $sinx = -\frac{\sqrt{2}}{2};$

б) $sinx = \frac{\sqrt{3}}{2};$

в) $cosx = \frac{1}{2};$

г) $cosx = -\frac{\sqrt{3}}{2}.$

а) Решим уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Общая формула для решения уравнения вида $\sin x = a$ (где $|a| \le 1$) выглядит как $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В данном случае $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Найдём значение арксинуса: $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$. Поскольку $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и значение $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит промежутку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, то $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$. Подставим это значение в общую формулу: $x = (-1)^k (-\frac{\pi}{4}) + \pi k$. Данное выражение можно записать в виде $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Используем общую формулу для синуса: $x = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Здесь $a = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это табличное значение, и $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$. Подставляя это значение в формулу, получаем общее решение уравнения: $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) Решим уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$. Общая формула для решения уравнения вида $\cos x = a$ (где $|a| \le 1$) выглядит как $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В нашем случае $a = \frac{1}{2}$. Табличное значение арккосинуса: $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, так как $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\frac{\pi}{3}$ принадлежит промежутку $[0; \pi]$. Подставляем это значение в общую формулу и получаем решение: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) Решим уравнение $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Применяем ту же общую формулу для косинуса: $x = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Здесь $a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Для нахождения значения $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ воспользуемся свойством $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$. Мы знаем, что $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$. Следовательно, $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Теперь подставляем найденное значение в общую формулу: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.