Номер 10, страница 46 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

10. Сколько простейших преобразований нужно выполнить, чтобы получить график функции $y = 3 \cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + 1$, используя график функции $y = \cos x$:

A) 2;

B) 3;

C) 4;

D) 5?

Чтобы получить график функции $y = 3 \cos(2x + \frac{\pi}{3}) + 1$ из графика функции $y = \cos(x)$, необходимо выполнить последовательность простейших геометрических преобразований. Давайте разберем их по порядку.

Исходная функция: $y = \cos(x)$.

Целевая функция: $y = 3 \cos(2x + \frac{\pi}{3}) + 1$.

Сначала преобразуем аргумент косинуса в целевой функции, чтобы выделить сдвиг по оси абсцисс в явном виде. Для этого вынесем коэффициент при $x$ за скобки:$2x + \frac{\pi}{3} = 2(x + \frac{\pi}{6})$

Таким образом, целевую функцию можно записать в виде:$y = 3 \cos(2(x + \frac{\pi}{6})) + 1$

Теперь мы можем определить все преобразования, сравнивая эту форму с исходной функцией $y = \cos(x)$. Общий вид преобразованной функции: $y = A \cos(B(x - C)) + D$. В нашем случае $A=3$, $B=2$, $C=-\frac{\pi}{6}$, $D=1$. Каждое из этих значений, отличное от "нейтрального" ($A=1, B=1, C=0, D=0$), соответствует одному простейшему преобразованию.

1. Растяжение вдоль оси OY. Коэффициент $A=3$ перед функцией косинуса означает, что график растягивается по вертикали в 3 раза. Это первое преобразование.

2. Сжатие вдоль оси OX. Коэффициент $B=2$ при переменной $x$ в аргументе косинуса означает, что график сжимается по горизонтали в 2 раза. Это второе преобразование.

3. Горизонтальный сдвиг (сдвиг по фазе). В аргументе косинуса стоит выражение $(x + \frac{\pi}{6})$, что соответствует сдвигу графика влево вдоль оси OX на $\frac{\pi}{6}$ единиц ($C=-\frac{\pi}{6}$). Это третье преобразование.

4. Вертикальный сдвиг. Слагаемое $D=1$ в конце выражения означает, что весь график сдвигается вверх вдоль оси OY на 1 единицу. Это четвертое преобразование.

Итак, для получения графика функции $y = 3 \cos(2x + \frac{\pi}{3}) + 1$ из графика $y = \cos(x)$ нужно выполнить 4 простейших преобразования: растяжение по вертикали, сжатие по горизонтали, сдвиг по горизонтали и сдвиг по вертикали.

Ответ: C) 4.