Страница 46 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

4. Найдите область определения функции $y = \sin4x + \frac{1}{x - 3}$:

A) $(-\infty, 3)$;

B) $(-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$;

C) $[0, 3]$;

D) $(-3, +\infty).$

Для нахождения области определения функции $y = \sin(4x) + \frac{1}{x-3}$ необходимо рассмотреть каждое слагаемое в отдельности. Область определения всей функции будет пересечением областей определения ее слагаемых.

1. Первое слагаемое — это функция $f(x) = \sin(4x)$. Функция синуса определена для любого действительного значения своего аргумента. Так как выражение $4x$ определено для любого $x$, то и функция $f(x) = \sin(4x)$ определена на всей числовой оси. Ее область определения — $(-\infty; +\infty)$.

2. Второе слагаемое — это функция $g(x) = \frac{1}{x-3}$. Это дробно-рациональная функция, и она определена для всех значений $x$, при которых ее знаменатель не равен нулю. Найдем значение $x$, которое необходимо исключить: $x - 3 \neq 0$ $x \neq 3$ Таким образом, область определения функции $g(x)$ — это все действительные числа, кроме 3. В виде интервалов это записывается как $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

3. Область определения исходной функции $y$ является пересечением областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$. $D(y) = (-\infty; +\infty) \cap ((-\infty; 3) \cup (3; +\infty))$ Пересечением этих множеств является множество $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

Следовательно, правильный вариант ответа — B).

Ответ: B) $(-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$

5. Найдите множество значений функции $y = 3\cos^2x - 1$:

A) $[1; 2];$

B) $[-1; 3];$

C) $[-1; 2];$

D) $[0; 3].$

Для нахождения множества значений функции $y = 3\cos^2x - 1$ необходимо определить, какие значения может принимать $y$ при всевозможных значениях $x$. Решение можно разбить на несколько шагов.

1. Сначала определим множество значений для $\cos x$. Функция косинуса ограничена и принимает значения в диапазоне от -1 до 1 включительно. Таким образом, мы имеем неравенство:

$-1 \le \cos x \le 1$

2. Далее рассмотрим выражение $\cos^2x$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, наименьшее значение $\cos^2x$ равно 0 (когда $\cos x = 0$). Наибольшее значение будет $1^2 = 1$ (когда $\cos x = 1$ или $\cos x = -1$). Следовательно, множество значений для $\cos^2x$ — это отрезок $[0; 1]$:

$0 \le \cos^2x \le 1$

3. Теперь умножим все части полученного неравенства на 3:

$3 \cdot 0 \le 3\cos^2x \le 3 \cdot 1$

$0 \le 3\cos^2x \le 3$

4. На последнем этапе вычтем 1 из всех частей неравенства, чтобы получить исходную функцию $y$:

$0 - 1 \le 3\cos^2x - 1 \le 3 - 1$

$-1 \le y \le 2$

Таким образом, множество значений функции $y = 3\cos^2x - 1$ — это отрезок от -1 до 2. Среди предложенных вариантов это соответствует варианту С).

Ответ: $[-1; 2]$.

6. Чему равно значение выражения $\arcsin \frac{1}{2} - \arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$:

A) $\frac{\pi}{3}$;

B) $\frac{\pi}{6}$;

C) $\frac{\pi}{4}$;

D) 0?

6. Чтобы найти значение выражения, необходимо вычислить значение каждого из его членов по отдельности.

1. Найдем значение $\arcsin\frac{1}{2}$.

Арксинус числа $a$ ($\arcsin a$) — это такое значение угла $x$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, что $\sin x = a$.

Нам нужно найти угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Из таблицы тригонометрических значений мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Так как $\frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, то $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.

2. Найдем значение $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Арккосинус числа $a$ ($\arccos a$) — это такое значение угла $x$ из отрезка $[0; \pi]$, что $\cos x = a$.

Нам нужно найти угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Из таблицы тригонометрических значений мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Так как $\frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, то $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$.

3. Теперь выполним вычитание найденных значений:

$\arcsin\frac{1}{2} - \arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = 0$.

Следовательно, значение выражения равно 0.

Ответ: 0.

7. График какой функции изображен на рисунке:

A. $y = \cos2x;$

B. $y = -2 \cos x;$

C. $y = 2\cos x;$

D. $y = 2 \sin x?$

Чтобы определить, какая функция соответствует графику на рисунке, проанализируем его ключевые характеристики: тип функции, амплитуду и период.

1. Определение типа функции. График является периодической функцией. В точке $x=0$ функция достигает своего максимального значения $y=2$. Стандартная функция $y=\cos(x)$ имеет максимум при $x=0$, в то время как функция $y=\sin(x)$ проходит через ноль при $x=0$. Следовательно, график описывается функцией вида $y = A \cos(kx)$.

2. Определение амплитуды A. Амплитуда — это максимальное отклонение функции от оси абсцисс. На графике видно, что максимальное значение функции $y_{max} = 2$, а минимальное — $y_{min} = -2$. Амплитуда $A$ может быть вычислена по формуле: $A = \frac{y_{max} - y_{min}}{2} = \frac{2 - (-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Поскольку в точке $x=0$ функция имеет максимум, а не минимум, коэффициент $A$ положителен. Таким образом, $A = 2$.

3. Определение периода T и коэффициента k. Период — это длина одного полного колебания. Из графика видно, что расстояние между максимумом в точке $x=0$ и минимумом в точке $x=\pi$ составляет половину периода. Таким образом, $\frac{T}{2} = \pi - 0 = \pi$. Полный период $T = 2\pi$. Период функции $y = A \cos(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Подставляем найденное значение периода в формулу: $2\pi = \frac{2\pi}{|k|}$. Отсюда следует, что $|k|=1$. Для простоты возьмем $k=1$.

4. Итоговая формула и проверка вариантов. Подставляя найденные значения $A=2$ и $k=1$ в общую формулу $y = A \cos(kx)$, получаем функцию $y = 2\cos(x)$. Теперь сравним полученную функцию с предложенными вариантами:

• A. $y = \cos(2x)$: Неверно. Амплитуда равна 1, а не 2.
• B. $y = -2\cos(x)$: Неверно. При $x=0$ значение функции $y = -2\cos(0) = -2$, а на графике $y=2$.
• C. $y = 2\cos(x)$: Верно. Амплитуда равна 2, период равен $2\pi$, и при $x=0$ значение $y = 2\cos(0) = 2$. Все характеристики совпадают.
• D. $y = 2\sin(x)$: Неверно. При $x=0$ значение функции $y = 2\sin(0) = 0$, а на графике $y=2$.

Ответ: C. $y = 2\cos x$.

8. Вычислите значения выражения $ \arcsin 1 + \arccos 0 - 2 \operatorname{arctg} 0 $:

A) 0;

B) -1;

C) 1;

D) 2.

Для вычисления значения выражения `arcsin(1) + arccos(0) - 2arctg(0)` необходимо найти значения каждого из его компонентов, используя определения обратных тригонометрических функций.

1. Найдём значение `arcsin(1)`. Арксинус числа 1 — это угол из отрезка `[-π/2, π/2]`, синус которого равен 1. Таким углом является `π/2`. Следовательно, `arcsin(1) = π/2`.

2. Найдём значение `arccos(0)`. Арккосинус числа 0 — это угол из отрезка `[0, π]`, косинус которого равен 0. Таким углом является `π/2`. Следовательно, `arccos(0) = π/2`.

3. Найдём значение `arctg(0)`. Арктангенс числа 0 — это угол из интервала `(-π/2, π/2)`, тангенс которого равен 0. Таким углом является `0`. Следовательно, `arctg(0) = 0`.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

`arcsin(1) + arccos(0) - 2arctg(0) = π/2 + π/2 - 2 * 0 = π`

Полученный результат `π` не соответствует ни одному из предложенных вариантов ответа (A: 0; B: -1; C: 1; D: 2). Это указывает на вероятную опечатку в условии задачи. Наиболее вероятной опечаткой является замена `arcsin(1)` на `arcsin(-1)`, так как в этом случае ответ совпадает с одним из предложенных вариантов.

Рассмотрим решение с этим исправлением. Выражение принимает вид: `arcsin(-1) + arccos(0) - 2arctg(0)`.

Значение `arcsin(-1)` равно `-π/2`, так как это угол из отрезка `[-π/2, π/2]`, синус которого равен -1.

Подставим значения в исправленное выражение:

`-π/2 + π/2 - 2 * 0 = 0`

Этот результат соответствует варианту A.

Ответ: 0

9. Сравните числа $ \arcsin \frac{1}{2} $ и $ \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $:

A) $ \arcsin \frac{1}{2} = \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right); $

B) $ \arcsin \frac{1}{2} > \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right); $

C) $ \arcsin \frac{1}{2} < \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right); $

D) $ \arcsin \frac{1}{2} \leq \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right). $

Для того чтобы сравнить числа $\arcsin\frac{1}{2}$ и $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, необходимо вычислить значение каждого выражения в радианах.

1. Вычисление $\arcsin\frac{1}{2}$

По определению, арксинус числа $a$ (обозначается $\arcsin a$) — это угол $\alpha$, принадлежащий отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $a$.

Нам нужно найти угол $\alpha$, такой что $\sin\alpha = \frac{1}{2}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Из таблицы стандартных тригонометрических значений известно, что $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.

Поскольку угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, то мы можем заключить, что:

$\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.

2. Вычисление $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

По определению, арккосинус числа $a$ (обозначается $\arccos a$) — это угол $\beta$, принадлежащий отрезку $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$.

Нам нужно найти угол $\beta$, такой что $\cos\beta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $0 \le \beta \le \pi$.

Для нахождения арккосинуса отрицательного аргумента используется формула: $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.

Применим эту формулу к нашему выражению:

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Из таблицы стандартных тригонометрических значений известно, что $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, поэтому $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Теперь подставим найденное значение обратно в формулу:

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

3. Сравнение полученных значений

Мы получили следующие результаты:

$\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}$

Теперь необходимо сравнить два числа: $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$.

Так как $1 < 5$, то $\frac{1}{6} < \frac{5}{6}$, и, следовательно, $\frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{6}$.

Таким образом, мы приходим к выводу, что $\arcsin\frac{1}{2} < \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Данное неравенство соответствует варианту ответа C.

Ответ: C) $\arcsin\frac{1}{2} < \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

10. Сколько простейших преобразований нужно выполнить, чтобы получить график функции $y = 3 \cos \left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + 1$, используя график функции $y = \cos x$:

A) 2;

B) 3;

C) 4;

D) 5?

Чтобы получить график функции $y = 3 \cos(2x + \frac{\pi}{3}) + 1$ из графика функции $y = \cos(x)$, необходимо выполнить последовательность простейших геометрических преобразований. Давайте разберем их по порядку.

Исходная функция: $y = \cos(x)$.

Целевая функция: $y = 3 \cos(2x + \frac{\pi}{3}) + 1$.

Сначала преобразуем аргумент косинуса в целевой функции, чтобы выделить сдвиг по оси абсцисс в явном виде. Для этого вынесем коэффициент при $x$ за скобки:$2x + \frac{\pi}{3} = 2(x + \frac{\pi}{6})$

Таким образом, целевую функцию можно записать в виде:$y = 3 \cos(2(x + \frac{\pi}{6})) + 1$

Теперь мы можем определить все преобразования, сравнивая эту форму с исходной функцией $y = \cos(x)$. Общий вид преобразованной функции: $y = A \cos(B(x - C)) + D$. В нашем случае $A=3$, $B=2$, $C=-\frac{\pi}{6}$, $D=1$. Каждое из этих значений, отличное от "нейтрального" ($A=1, B=1, C=0, D=0$), соответствует одному простейшему преобразованию.

1. Растяжение вдоль оси OY. Коэффициент $A=3$ перед функцией косинуса означает, что график растягивается по вертикали в 3 раза. Это первое преобразование.

2. Сжатие вдоль оси OX. Коэффициент $B=2$ при переменной $x$ в аргументе косинуса означает, что график сжимается по горизонтали в 2 раза. Это второе преобразование.

3. Горизонтальный сдвиг (сдвиг по фазе). В аргументе косинуса стоит выражение $(x + \frac{\pi}{6})$, что соответствует сдвигу графика влево вдоль оси OX на $\frac{\pi}{6}$ единиц ($C=-\frac{\pi}{6}$). Это третье преобразование.

4. Вертикальный сдвиг. Слагаемое $D=1$ в конце выражения означает, что весь график сдвигается вверх вдоль оси OY на 1 единицу. Это четвертое преобразование.

Итак, для получения графика функции $y = 3 \cos(2x + \frac{\pi}{3}) + 1$ из графика $y = \cos(x)$ нужно выполнить 4 простейших преобразования: растяжение по вертикали, сжатие по горизонтали, сдвиг по горизонтали и сдвиг по вертикали.

Ответ: C) 4.