Страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Заполните таблицу 6:

Таблица 6

Функция Функция, обратная данной функции

$y = 2x$

$y = x - 2$

$y = -x + 3$

$y = x^2$ (где $x > 0$)

ОБЪЯСНИТЕ

Почему в четвертом задании дано дополнительное условие?

1. Почему функцию, обратную функции $y = \sin x$, рассматриваем только на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$?

2. Какие условия должны выполняться, чтобы существовала функция, обратная функции $y = \operatorname{ctg} x$?

ОБЪЯСНИТЕ

Почему в четвертом задании дано дополнительное условие?

Обратная функция существует только для обратимых функций. Необходимым условием обратимости функции является ее строгая монотонность, то есть она должна быть либо строго возрастающей, либо строго убывающей на всей своей области определения. Функция $y = x^2$ на всей числовой оси не является монотонной: она убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Это значит, что разным значениям аргумента (например, $x=-2$ и $x=2$) соответствует одно и то же значение функции ($y=4$). Такая функция не является взаимно однозначной, и для нее нельзя построить обратную функцию, которая тоже была бы функцией (так как одному значению $y=4$ соответствовало бы два значения $x$: $2$ и $-2$).

Дополнительное условие $x > 0$ сужает область определения до промежутка, на котором функция $y=x^2$ строго возрастает. На этом промежутке каждому значению $y$ соответствует только одно значение $x$, что позволяет определить обратную функцию $y=\sqrt{x}$.

Ответ: Дополнительное условие $x > 0$ необходимо для того, чтобы сузить область определения функции до промежутка, на котором она является строго монотонной, что является обязательным требованием для существования обратной функции.

1. Почему функцию, обратную функции $y = \sin x$, рассматриваем только на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$?

Функция $y=\sin x$ является периодической с периодом $2\pi$, а значит, не является монотонной на всей своей области определения. Одно и то же значение (например, $0.5$) она принимает для бесконечного множества значений аргумента (например, для $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$ и т.д.). Чтобы определить обратную функцию (арксинус), необходимо выбрать такой промежуток, на котором функция $y=\sin x$ будет строго монотонной и примет все свои возможные значения из отрезка $[-1; 1]$. По международному соглашению (для определения главного значения арксинуса) выбирают отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. На этом отрезке функция $y=\sin x$ строго возрастает от $-1$ до $1$, и каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента.

Ответ: Функция, обратная $y=\sin x$, рассматривается на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, потому что это стандартный, общепринятый промежуток, на котором функция $y=\sin x$ является строго монотонной, что необходимо для существования однозначной обратной функции.

2. Какие условия должны выполняться, чтобы существовала функция, обратная функции $y = \mathrm{ctg}\,x$?

Чтобы существовала функция, обратная функции $y = \mathrm{ctg}\,x$, необходимо, чтобы исходная функция была строго монотонной. Функция котангенса является периодической с периодом $\pi$ и не является монотонной на всей своей области определения. Следовательно, для нахождения обратной функции (арккотангенса) необходимо ограничить область определения $y = \mathrm{ctg}\,x$ таким интервалом, на котором она будет строго монотонной и будет принимать все значения из своей области значений $(-\infty; +\infty)$. Стандартно для этого выбирают интервал $(0, \pi)$, на котором функция $y=\mathrm{ctg}\,x$ строго убывает.

Ответ: Чтобы существовала функция, обратная функции $y=\mathrm{ctg}\,x$, необходимо ограничить ее область определения интервалом строгой монотонности, например, интервалом $(0, \pi)$.

6.1. Вычислите:

а) $ \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} $; б) $ \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} $; в) $ \text{arcctg} \frac{1}{\sqrt{3}} $;

г) $ \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $; д) $ \arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $; е) $ \text{arcctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) $.

а) По определению, арксинус числа $a$ (обозначается $\arcsin a$) — это такой угол $x$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$. Требуется найти угол $x$, для которого $\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и который принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Поскольку угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, то это и есть искомое значение.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

б) Арккосинус числа $a$ (обозначается $\arccos a$) — это угол $x$ из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$. Требуется найти угол $x$, для которого $\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и который принадлежит отрезку $[0; \pi]$. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, то это и есть искомое значение.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

в) Арккотангенс числа $a$ (обозначается $\text{arcctg } a$) — это угол $x$ из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $a$. Требуется найти угол $x$, для которого $\text{ctg}(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и который принадлежит интервалу $(0; \pi)$. Значение $\frac{1}{\sqrt{3}}$ можно записать как $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит интервалу $(0; \pi)$, следовательно, это искомое значение.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

г) Для вычисления арккосинуса отрицательного аргумента используется формула $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$. Применим эту формулу для нашего случая: $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Известно, что $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и угол $\frac{\pi}{4}$ находится в диапазоне $[0; \pi]$. Подставляем это значение в формулу: $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$

д) Арксинус является нечетной функцией, поэтому для отрицательного аргумента справедливо равенство $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$. Применим это свойство: $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Известно, что $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и угол $\frac{\pi}{4}$ находится в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Следовательно, искомое значение равно $-\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}$

е) Арктангенс, как и арксинус, является нечетной функцией, поэтому $\text{arctg}(-a) = -\text{arctg}(a)$. Применим это свойство: $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$. Известно, что $\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$, так как $\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и угол $\frac{\pi}{6}$ находится в диапазоне $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Следовательно, искомое значение равно $-\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$

6.2. Найдите значение выражения:

a) $ \operatorname{arctg}(-1)-\operatorname{arctg} 1 $;

б) $ \arcsin (-1)-\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $;

в) $ \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)-\operatorname{arctg} \sqrt{3} $;

г) $ \arcsin 1+\operatorname{arcctg} \sqrt{3} $.

а) Для вычисления выражения $\text{arctg}(-1) - \text{arctg}(1)$ найдем значения арктангенсов. Область значений арктангенса — это интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Значение $\text{arctg}(-1)$ равно $-\frac{\pi}{4}$, так как $\text{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -1$ и этот угол принадлежит указанному интервалу.

Значение $\text{arctg}(1)$ равно $\frac{\pi}{4}$, так как $\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$ и этот угол также принадлежит указанному интервалу.

Подставим найденные значения в выражение: $\text{arctg}(-1) - \text{arctg}(1) = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$.

б) Для вычисления выражения $\text{arcsin}(-1) - \text{arccos}(-\frac{\sqrt{2}}{2})$ найдем значения арксинуса и арккосинуса.

Область значений арксинуса — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Значение $\text{arcsin}(-1)$ равно $-\frac{\pi}{2}$, так как $\text{sin}(-\frac{\pi}{2}) = -1$.

Область значений арккосинуса — это отрезок $[0, \pi]$. Значение $\text{arccos}(-\frac{\sqrt{2}}{2})$ равно $\frac{3\pi}{4}$, так как $\text{cos}(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим найденные значения в выражение: $\text{arcsin}(-1) - \text{arccos}(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{2\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{5\pi}{4}$.

в) Для вычисления выражения $\text{arcsin}(-\frac{1}{2}) - \text{arctg}(\sqrt{3})$ найдем значения каждой функции.

Область значений арксинуса — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Значение $\text{arcsin}(-\frac{1}{2})$ равно $-\frac{\pi}{6}$, так как $\text{sin}(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

Область значений арктангенса — это интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Значение $\text{arctg}(\sqrt{3})$ равно $\frac{\pi}{3}$, так как $\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Подставим найденные значения в выражение: $\text{arcsin}(-\frac{1}{2}) - \text{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$.

г) Для вычисления выражения $\text{arcsin}(1) + \text{arcctg}(\sqrt{3})$ найдем значения каждой функции.

Область значений арксинуса — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Значение $\text{arcsin}(1)$ равно $\frac{\pi}{2}$, так как $\text{sin}(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Область значений арккотангенса — это интервал $(0, \pi)$. Значение $\text{arcctg}(\sqrt{3})$ равно $\frac{\pi}{6}$, так как $\text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.

Подставим найденные значения в выражение: $\text{arcsin}(1) + \text{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

6.3. Сравните:

а) $ \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ и } \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} $;

б) $ \arcsin \frac{1}{2} \text{ и } \operatorname{arctg} 1 $;

в) $ \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \text{ и } \operatorname{arctg} \sqrt{3} $;

г) $ \operatorname{arcctg}(-1) \text{ и } \operatorname{arctg}(-1) $.

а) Чтобы сравнить $\arcsin{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ и $\arccos{\frac{\sqrt{2}}{2}}$, найдем значения этих выражений.

По определению, $\arcsin{x}$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$. Значит, $\arcsin{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ — это угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, $\arcsin{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\pi}{4}$.

По определению, $\arccos{x}$ — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $x$.Значит, $\arccos{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ — это угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этот угол также равен $\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, $\arccos{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\pi}{4}$.

Сравниваем полученные значения: $\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.Следовательно, $\arcsin{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \arccos{\frac{\sqrt{2}}{2}}$.

Ответ: $\arcsin{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \arccos{\frac{\sqrt{2}}{2}}$.

б) Чтобы сравнить $\arcsin{\frac{1}{2}}$ и $\operatorname{arcctg}{1}$, найдем их значения.

$\arcsin{\frac{1}{2}}$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{6}$.

Значит, $\arcsin{\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{6}$.

$\operatorname{arcctg}{1}$ — это угол из промежутка $(0; \pi)$, котангенс которого равен $1$. Этот угол равен $\frac{\pi}{4}$.

Значит, $\operatorname{arcctg}{1} = \frac{\pi}{4}$.

Теперь сравним дроби $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{4}$. Приведем их к общему знаменателю $12$:

$\frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{12}$

$\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12}$

Так как $2\pi < 3\pi$, то $\frac{2\pi}{12} < \frac{3\pi}{12}$, следовательно, $\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\arcsin{\frac{1}{2}} < \operatorname{arcctg}{1}$.

в) Сравним $\arccos{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$ и $\operatorname{arctg}{\sqrt{3}}$.

Найдем значение $\arccos{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$. Это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Для нахождения этого угла можно использовать формулу $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.

$\arccos{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} = \pi - \arccos{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Найдем значение $\operatorname{arctg}{\sqrt{3}}$. Это угол из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.

Теперь сравним $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{3}$. Приведем дробь $\frac{\pi}{3}$ к знаменателю $6$:

$\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{6}$.

Так как $5\pi > 2\pi$, то $\frac{5\pi}{6} > \frac{2\pi}{6}$.

Следовательно, $\arccos{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} > \operatorname{arctg}{\sqrt{3}}$.

Ответ: $\arccos{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} > \operatorname{arctg}{\sqrt{3}}$.

г) Сравним $\operatorname{arcctg}{(-1)}$ и $\operatorname{arctg}{(-1)}$.

Найдем значение $\operatorname{arcctg}{(-1)}$. Это угол из промежутка $(0; \pi)$, котангенс которого равен $-1$. Для нахождения этого угла можно использовать формулу $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg}(x)$.

$\operatorname{arcctg}{(-1)} = \pi - \operatorname{arcctg}(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Найдем значение $\operatorname{arctg}{(-1)}$. Это угол из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $-1$. Для нахождения этого угла можно использовать свойство нечетности арктангенса: $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x)$.

$\operatorname{arctg}{(-1)} = -\operatorname{arctg}(1) = -\frac{\pi}{4}$.

Теперь сравним полученные значения: $\frac{3\pi}{4}$ и $-\frac{\pi}{4}$.

Любое положительное число больше любого отрицательного числа, поэтому $\frac{3\pi}{4} > -\frac{\pi}{4}$.

Следовательно, $\operatorname{arcctg}{(-1)} > \operatorname{arctg}{(-1)}$.

Ответ: $\operatorname{arcctg}{(-1)} > \operatorname{arctg}{(-1)}$.

6.4. Найдите значение выражения:

а) Данное выражение вычисляется на основе определения арккосинуса. По определению, для любого числа $x$, принадлежащего отрезку $[-1; 1]$, выполняется тождество: $\cos(\arccos(x)) = x$. В нашем случае $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это значение находится в пределах отрезка $[-1; 1]$, так как $-1 \le -\frac{\sqrt{3}}{2} \le 1$. Следовательно, значение выражения равно самому числу под знаком арккосинуса.

$\cos\left(\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Также можно решить по шагам:

1. Найдём значение $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$. Это угол $\alpha$ из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим углом является $\alpha = \frac{5\pi}{6}$.

2. Найдём косинус этого угла: $\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) Для вычисления значения выражения $\operatorname{tg}(\operatorname{arcctg}(\sqrt{3}))$ найдём сначала значение внутреннего выражения.

Пусть $\alpha = \operatorname{arcctg}(\sqrt{3})$. По определению арккотангенса, это угол $\alpha$ из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $\sqrt{3}$. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$. Так как $\frac{\pi}{6}$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$, то $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Теперь подставим найденное значение в исходное выражение: $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6})$.

Значение тангенса этого угла равно $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) Данное выражение вычисляется на основе определения арксинуса. По определению, для любого числа $x$, принадлежащего отрезку $[-1; 1]$, выполняется тождество: $\sin(\arcsin(x)) = x$. В нашем случае $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это значение находится в пределах отрезка $[-1; 1]$, так как $-1 \le -\frac{\sqrt{2}}{2} \le 1$. Следовательно, значение выражения равно самому числу под знаком арксинуса.

$\sin\left(\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Также можно решить по шагам:

1. Найдём значение $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$. Это угол $\alpha$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этим углом является $\alpha = -\frac{\pi}{4}$.

2. Найдём синус этого угла: $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) Данное выражение вычисляется аналогично пункту а) на основе определения арккосинуса. Для любого числа $x \in [-1; 1]$ справедливо тождество $\cos(\arccos(x)) = x$. В данном случае $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это значение принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Следовательно, значение выражения равно $x$.

$\cos\left(\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Также можно решить по шагам:

1. Найдём значение $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$. Это угол $\alpha$ из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим углом является $\alpha = \frac{\pi}{6}$.

2. Найдём косинус этого угла: $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

6.5. Найдите значение выражения:

а) $ \text{arcctg}1 - \text{arcctg}\sqrt{3} - \text{arccos}\left(-\frac{1}{2}\right); $

б) $ \text{arcsin}\left(-\frac{1}{2}\right) + \text{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) - \text{arcctg}\sqrt{3}; $

в) $ \text{arcsin}(-1) - \frac{3}{2} \text{arccos}\frac{1}{2} + 3 \text{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right); $

г) $ -4 \cdot \text{arcsin}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 8 \text{arccos}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 15 \cdot \text{arcctg}\frac{\sqrt{3}}{3}. $

а) $ \mathrm{arcctg} \, 1 - \mathrm{arctg} \, \sqrt{3} - \mathrm{arccos} \left(-\frac{1}{2}\right) $

Для решения найдем значение каждой из аркфункций:

$ \mathrm{arcctg} \, 1 = \frac{\pi}{4} $, так как $ \mathrm{ctg} \, \frac{\pi}{4} = 1 $ и $ \frac{\pi}{4} \in (0, \pi) $.

$ \mathrm{arctg} \, \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} $, так как $ \mathrm{tg} \, \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $ и $ \frac{\pi}{3} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $.

$ \mathrm{arccos} \left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \mathrm{arccos} \, \frac{1}{2} = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $, так как $ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $ и $ \frac{2\pi}{3} \in [0, \pi] $.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$ \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{4} - \left(\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{3} = \frac{\pi}{4} - \pi = \frac{\pi - 4\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} $.

Ответ: $ -\frac{3\pi}{4} $

б) $ \mathrm{arcsin}\left(-\frac{1}{2}\right) + \mathrm{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) - \mathrm{arcctg} \, \sqrt{3} $

Для решения найдем значение каждой из аркфункций, используя свойства нечетности арксинуса и арктангенса:

$ \mathrm{arcsin}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\mathrm{arcsin}\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6} $, так как $ \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $.

$ \mathrm{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\mathrm{arctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6} $, так как $ \mathrm{tg} \, \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} $.

$ \mathrm{arcctg} \, \sqrt{3} = \frac{\pi}{6} $, так как $ \mathrm{ctg} \, \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} $.

Подставим значения в выражение:

$ -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = -3 \cdot \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{2} $

в) $ \mathrm{arcsin}(-1) - \frac{3}{2}\mathrm{arccos}\frac{1}{2} + 3\mathrm{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) $

Найдем значения аркфункций:

$ \mathrm{arcsin}(-1) = -\frac{\pi}{2} $, так как $ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 $.

$ \mathrm{arccos}\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} $, так как $ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $.

$ \mathrm{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \mathrm{arcctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $, так как $ \mathrm{ctg} \, \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} $.

Теперь выполним вычисления:

$ -\frac{\pi}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{3} + 3 \cdot \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + 2\pi = -\pi + 2\pi = \pi $.

Ответ: $ \pi $

г) $ -4 \cdot \mathrm{arcsin}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 8 \cdot \mathrm{arccos}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 15 \cdot \mathrm{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} $

Найдем значения аркфункций:

$ \mathrm{arcsin}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\mathrm{arcsin}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4} $, так как $ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

$ \mathrm{arccos}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \mathrm{arccos}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $, так как $ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

$ \mathrm{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} = \mathrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6} $, так как $ \mathrm{tg} \, \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} $.

Подставим значения и вычислим:

$ -4 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 8 \cdot \frac{3\pi}{4} - 15 \cdot \frac{\pi}{6} = \pi + 6\pi - \frac{5\pi}{2} = 7\pi - \frac{5\pi}{2} = \frac{14\pi - 5\pi}{2} = \frac{9\pi}{2} $.

Ответ: $ \frac{9\pi}{2} $