Вопросы, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Заполните таблицу 6:

Таблица 6

Функция Функция, обратная данной функции

$y = 2x$

$y = x - 2$

$y = -x + 3$

$y = x^2$ (где $x > 0$)

ОБЪЯСНИТЕ

Почему в четвертом задании дано дополнительное условие?

1. Почему функцию, обратную функции $y = \sin x$, рассматриваем только на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$?

2. Какие условия должны выполняться, чтобы существовала функция, обратная функции $y = \operatorname{ctg} x$?

ОБЪЯСНИТЕ

Почему в четвертом задании дано дополнительное условие?

Обратная функция существует только для обратимых функций. Необходимым условием обратимости функции является ее строгая монотонность, то есть она должна быть либо строго возрастающей, либо строго убывающей на всей своей области определения. Функция $y = x^2$ на всей числовой оси не является монотонной: она убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$. Это значит, что разным значениям аргумента (например, $x=-2$ и $x=2$) соответствует одно и то же значение функции ($y=4$). Такая функция не является взаимно однозначной, и для нее нельзя построить обратную функцию, которая тоже была бы функцией (так как одному значению $y=4$ соответствовало бы два значения $x$: $2$ и $-2$).

Дополнительное условие $x > 0$ сужает область определения до промежутка, на котором функция $y=x^2$ строго возрастает. На этом промежутке каждому значению $y$ соответствует только одно значение $x$, что позволяет определить обратную функцию $y=\sqrt{x}$.

Ответ: Дополнительное условие $x > 0$ необходимо для того, чтобы сузить область определения функции до промежутка, на котором она является строго монотонной, что является обязательным требованием для существования обратной функции.

1. Почему функцию, обратную функции $y = \sin x$, рассматриваем только на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$?

Функция $y=\sin x$ является периодической с периодом $2\pi$, а значит, не является монотонной на всей своей области определения. Одно и то же значение (например, $0.5$) она принимает для бесконечного множества значений аргумента (например, для $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}$ и т.д.). Чтобы определить обратную функцию (арксинус), необходимо выбрать такой промежуток, на котором функция $y=\sin x$ будет строго монотонной и примет все свои возможные значения из отрезка $[-1; 1]$. По международному соглашению (для определения главного значения арксинуса) выбирают отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. На этом отрезке функция $y=\sin x$ строго возрастает от $-1$ до $1$, и каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента.

Ответ: Функция, обратная $y=\sin x$, рассматривается на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, потому что это стандартный, общепринятый промежуток, на котором функция $y=\sin x$ является строго монотонной, что необходимо для существования однозначной обратной функции.

2. Какие условия должны выполняться, чтобы существовала функция, обратная функции $y = \mathrm{ctg}\,x$?

Чтобы существовала функция, обратная функции $y = \mathrm{ctg}\,x$, необходимо, чтобы исходная функция была строго монотонной. Функция котангенса является периодической с периодом $\pi$ и не является монотонной на всей своей области определения. Следовательно, для нахождения обратной функции (арккотангенса) необходимо ограничить область определения $y = \mathrm{ctg}\,x$ таким интервалом, на котором она будет строго монотонной и будет принимать все значения из своей области значений $(-\infty; +\infty)$. Стандартно для этого выбирают интервал $(0, \pi)$, на котором функция $y=\mathrm{ctg}\,x$ строго убывает.

Ответ: Чтобы существовала функция, обратная функции $y=\mathrm{ctg}\,x$, необходимо ограничить ее область определения интервалом строгой монотонности, например, интервалом $(0, \pi)$.