Номер 5.4, страница 38 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

5.4. Постройте график функции:

а) $y = \text{tg} \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

б) $y = \cos \left(\frac{\pi}{6} + x\right)$.

а) $y = \tan(x - \frac{\pi}{4})$

Для построения графика функции $y = \tan(x - \frac{\pi}{4})$ используется метод преобразования графиков. В качестве основы берется график функции $y = \tan(x)$. График заданной функции получается из графика $y = \tan(x)$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс.

1. Построение базового графика $y = \tan(x)$ (тангенсоиды).

- Область определения функции: все действительные числа $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Прямые $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ являются вертикальными асимптотами графика.

- Период функции равен $\pi$.

- График проходит через начало координат $(0, 0)$ и является нечетной функцией.

- Некоторые контрольные точки для основной ветви: $(-\frac{\pi}{4}, -1)$, $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{4}, 1)$.

2. Преобразование графика.

Заданная функция имеет вид $y = f(x - c)$, где $f(x) = \tan(x)$ и $c = \frac{\pi}{4}$. Согласно правилам преобразования графиков, для получения графика $y = \tan(x - \frac{\pi}{4})$ необходимо сдвинуть график функции $y = \tan(x)$ на величину $c = \frac{\pi}{4}$ вправо вдоль оси Ox.

3. Характеристики и построение итогового графика $y = \tan(x - \frac{\pi}{4})$.

- Все точки графика $y = \tan(x)$ смещаются вправо на $\frac{\pi}{4}$.

- Вертикальные асимптоты также смещаются вправо на $\frac{\pi}{4}$. Их новые уравнения: $x = (\frac{\pi}{2} + \pi k) + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Например, асимптоты будут при $x = \dots, -\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \dots$

- Нули функции (точки пересечения с осью Ox) смещаются из точек $x = \pi k$ в точки $x = \pi k + \frac{\pi}{4}$. Например, точка $(0,0)$ смещается в точку $(\frac{\pi}{4}, 0)$.

- Контрольные точки также смещаются вправо на $\frac{\pi}{4}$:

• Точка $(-\frac{\pi}{4}, -1)$ переходит в точку $(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}, -1) = (0, -1)$.
• Точка $(0, 0)$ переходит в точку $(0 + \frac{\pi}{4}, 0) = (\frac{\pi}{4}, 0)$.
• Точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}, 1) = (\frac{\pi}{2}, 1)$.

Ответ: График функции $y = \tan(x - \frac{\pi}{4})$ получается из графика функции $y = \tan(x)$ путем параллельного переноса на $\frac{\pi}{4}$ вправо вдоль оси Ox. Вертикальные асимптоты графика задаются уравнениями $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \cos(\frac{\pi}{6} + x)$

Для построения графика функции $y = \cos(\frac{\pi}{6} + x)$, которую можно записать как $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$, воспользуемся методом преобразования графиков. Исходной функцией является $y = \cos(x)$.

1. Построение базового графика $y = \cos(x)$ (косинусоиды).

- Область определения: все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

- Область значений: отрезок $[-1, 1]$.

- Период функции равен $2\pi$.

- График является четной функцией, симметричен относительно оси Oy.

- Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 1)$ (максимум), $(\frac{\pi}{2}, 0)$ (ноль), $(\pi, -1)$ (минимум), $(\frac{3\pi}{2}, 0)$ (ноль), $(2\pi, 1)$ (максимум).

2. Преобразование графика.

Заданная функция имеет вид $y = f(x + c)$, где $f(x) = \cos(x)$ и $c = \frac{\pi}{6}$. Согласно правилам преобразования графиков, для получения графика $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$ необходимо сдвинуть график функции $y = \cos(x)$ на величину $c = \frac{\pi}{6}$ влево вдоль оси Ox.

3. Характеристики и построение итогового графика $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$.

- Все точки графика $y = \cos(x)$ смещаются влево на $\frac{\pi}{6}$.

- Период, область определения и область значений не изменяются.

- Ключевые точки смещаются влево на $\frac{\pi}{6}$:

• Точка максимума $(0, 1)$ переходит в точку $(0 - \frac{\pi}{6}, 1) = (-\frac{\pi}{6}, 1)$.
• Ноль функции $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}, 0) = (\frac{3\pi - \pi}{6}, 0) = (\frac{2\pi}{6}, 0) = (\frac{\pi}{3}, 0)$.
• Точка минимума $(\pi, -1)$ переходит в точку $(\pi - \frac{\pi}{6}, -1) = (\frac{5\pi}{6}, -1)$.
• Следующий ноль $(\frac{3\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6}, 0) = (\frac{9\pi - \pi}{6}, 0) = (\frac{8\pi}{6}, 0) = (\frac{4\pi}{3}, 0)$.

Ответ: График функции $y = \cos(\frac{\pi}{6} + x)$ получается из графика функции $y = \cos(x)$ путем параллельного переноса на $\frac{\pi}{6}$ влево вдоль оси Ox.