Номер 6.1, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6.1. Вычислите:

а) $ \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} $; б) $ \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} $; в) $ \text{arcctg} \frac{1}{\sqrt{3}} $;

г) $ \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $; д) $ \arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $; е) $ \text{arcctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) $.

а) По определению, арксинус числа $a$ (обозначается $\arcsin a$) — это такой угол $x$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$. Требуется найти угол $x$, для которого $\sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и который принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Поскольку угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, то это и есть искомое значение.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

б) Арккосинус числа $a$ (обозначается $\arccos a$) — это угол $x$ из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$. Требуется найти угол $x$, для которого $\cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и который принадлежит отрезку $[0; \pi]$. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, то это и есть искомое значение.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$

в) Арккотангенс числа $a$ (обозначается $\text{arcctg } a$) — это угол $x$ из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $a$. Требуется найти угол $x$, для которого $\text{ctg}(x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и который принадлежит интервалу $(0; \pi)$. Значение $\frac{1}{\sqrt{3}}$ можно записать как $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\text{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Угол $\frac{\pi}{3}$ принадлежит интервалу $(0; \pi)$, следовательно, это искомое значение.

Ответ: $\frac{\pi}{3}$

г) Для вычисления арккосинуса отрицательного аргумента используется формула $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$. Применим эту формулу для нашего случая: $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Известно, что $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и угол $\frac{\pi}{4}$ находится в диапазоне $[0; \pi]$. Подставляем это значение в формулу: $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$

д) Арксинус является нечетной функцией, поэтому для отрицательного аргумента справедливо равенство $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$. Применим это свойство: $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$. Известно, что $\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$, так как $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и угол $\frac{\pi}{4}$ находится в диапазоне $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Следовательно, искомое значение равно $-\frac{\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{4}$

е) Арктангенс, как и арксинус, является нечетной функцией, поэтому $\text{arctg}(-a) = -\text{arctg}(a)$. Применим это свойство: $\text{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$. Известно, что $\text{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}$, так как $\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и угол $\frac{\pi}{6}$ находится в диапазоне $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Следовательно, искомое значение равно $-\frac{\pi}{6}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{6}$