Номер 6.6, страница 45 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Вычислите (6.6-6.7):

6.6. a) $\sin\left(\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)$;

б) $\cos\left(\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

в) $\cos\left(\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right)$;

г) $\sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$.

а) Чтобы вычислить $\sin(\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}))$, сначала найдем значение внутреннего выражения.

Пусть $\alpha = \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$. По определению арккосинуса, это угол $\alpha$, для которого $\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и который принадлежит отрезку $[0, \pi]$.

Этим условиям соответствует угол $\alpha = \frac{3\pi}{4}$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\sin(\frac{3\pi}{4})$.

Значение синуса для этого угла равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Другой способ решения — использовать основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Поскольку $\alpha \in [0, \pi]$, $\sin\alpha$ неотрицателен, поэтому $\sin\alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha}$.

$\sin(\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})) = \sqrt{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Чтобы вычислить $\cos(\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}))$, сначала найдем значение внутреннего выражения.

Пусть $\alpha = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$. По определению арксинуса, это угол $\alpha$, для которого $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и который принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Этим условиям соответствует угол $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\cos(\frac{\pi}{3})$.

Значение косинуса для этого угла равно $\frac{1}{2}$.

Используя тождество: поскольку $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, $\cos\alpha$ неотрицателен, поэтому $\cos\alpha = \sqrt{1-\sin^2\alpha}$.

$\cos(\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})) = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) Чтобы вычислить $\cos(\operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}))$, сначала найдем значение внутреннего выражения.

Пусть $\alpha = \operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$. По определению арктангенса, это угол $\alpha$, для которого $\operatorname{tg}(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ и который принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Этим условиям соответствует угол $\alpha = -\frac{\pi}{6}$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\cos(-\frac{\pi}{6})$.

Так как косинус — чётная функция, $\cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Используя тождество $1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$: поскольку $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, $\cos\alpha$ положителен, поэтому $\cos\alpha = \sqrt{\frac{1}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}}$.

$\cos(\operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})) = \sqrt{\frac{1}{1 + (-\frac{\sqrt{3}}{3})^2}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{3}{9}}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{1}{3}}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{4}{3}}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) Чтобы вычислить $\sin(\arccos(-\frac{1}{2}))$, сначала найдем значение внутреннего выражения.

Пусть $\alpha = \arccos(-\frac{1}{2})$. По определению арккосинуса, это угол $\alpha$, для которого $\cos(\alpha) = -\frac{1}{2}$ и который принадлежит отрезку $[0, \pi]$.

Этим условиям соответствует угол $\alpha = \frac{2\pi}{3}$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\sin(\frac{2\pi}{3})$.

$\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Используя тождество: поскольку $\alpha \in [0, \pi]$, $\sin\alpha$ неотрицателен, поэтому $\sin\alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha}$.

$\sin(\arccos(-\frac{1}{2})) = \sqrt{1 - (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.