Страница 45 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Вычислите (6.6-6.7):

6.6. a) $\sin\left(\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)$;

б) $\cos\left(\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

в) $\cos\left(\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\right)$;

г) $\sin\left(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$.

а) Чтобы вычислить $\sin(\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}))$, сначала найдем значение внутреннего выражения.

Пусть $\alpha = \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$. По определению арккосинуса, это угол $\alpha$, для которого $\cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и который принадлежит отрезку $[0, \pi]$.

Этим условиям соответствует угол $\alpha = \frac{3\pi}{4}$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\sin(\frac{3\pi}{4})$.

Значение синуса для этого угла равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Другой способ решения — использовать основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Поскольку $\alpha \in [0, \pi]$, $\sin\alpha$ неотрицателен, поэтому $\sin\alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha}$.

$\sin(\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})) = \sqrt{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{2}{4}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

б) Чтобы вычислить $\cos(\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}))$, сначала найдем значение внутреннего выражения.

Пусть $\alpha = \arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$. По определению арксинуса, это угол $\alpha$, для которого $\sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и который принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Этим условиям соответствует угол $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\cos(\frac{\pi}{3})$.

Значение косинуса для этого угла равно $\frac{1}{2}$.

Используя тождество: поскольку $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, $\cos\alpha$ неотрицателен, поэтому $\cos\alpha = \sqrt{1-\sin^2\alpha}$.

$\cos(\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})) = \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) Чтобы вычислить $\cos(\operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}))$, сначала найдем значение внутреннего выражения.

Пусть $\alpha = \operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})$. По определению арктангенса, это угол $\alpha$, для которого $\operatorname{tg}(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ и который принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Этим условиям соответствует угол $\alpha = -\frac{\pi}{6}$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\cos(-\frac{\pi}{6})$.

Так как косинус — чётная функция, $\cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Используя тождество $1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$: поскольку $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, $\cos\alpha$ положителен, поэтому $\cos\alpha = \sqrt{\frac{1}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}}$.

$\cos(\operatorname{arctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3})) = \sqrt{\frac{1}{1 + (-\frac{\sqrt{3}}{3})^2}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{3}{9}}} = \sqrt{\frac{1}{1 + \frac{1}{3}}} = \sqrt{\frac{1}{\frac{4}{3}}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) Чтобы вычислить $\sin(\arccos(-\frac{1}{2}))$, сначала найдем значение внутреннего выражения.

Пусть $\alpha = \arccos(-\frac{1}{2})$. По определению арккосинуса, это угол $\alpha$, для которого $\cos(\alpha) = -\frac{1}{2}$ и который принадлежит отрезку $[0, \pi]$.

Этим условиям соответствует угол $\alpha = \frac{2\pi}{3}$.

Теперь подставим это значение в исходное выражение: $\sin(\frac{2\pi}{3})$.

$\sin(\frac{2\pi}{3}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Используя тождество: поскольку $\alpha \in [0, \pi]$, $\sin\alpha$ неотрицателен, поэтому $\sin\alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha}$.

$\sin(\arccos(-\frac{1}{2})) = \sqrt{1 - (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

6.7. a) $\operatorname{tg}(\pi + \arcsin(-\frac{1}{2}))$;

б) $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{2} + \operatorname{arctg}\sqrt{3})$;

в) $\cos(\pi - \arcsin(-1))$;

г) $\sin(\frac{3\pi}{2} - \arccos(-1))$.

а) Вычислим значение выражения $tg(\pi + \arcsin(\frac{1}{2}))$.

Сначала найдем значение $\arcsin(\frac{1}{2})$. По определению арксинуса, это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{6}$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$tg(\pi + \frac{\pi}{6})$

Используем формулу приведения, учитывая, что тангенс имеет период $\pi$, то есть $tg(\pi + \alpha) = tg(\alpha)$.

$tg(\pi + \frac{\pi}{6}) = tg(\frac{\pi}{6})$

Значение тангенса этого угла равно:

$tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

б) Вычислим значение выражения $tg(\frac{\pi}{2} + \operatorname{arctg}\sqrt{3})$.

Сначала найдем значение $\operatorname{arctg}\sqrt{3}$. По определению арктангенса, это угол из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$tg(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3})$

Используем формулу приведения $tg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -ctg(\alpha)$.

$tg(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) = -ctg(\frac{\pi}{3})$

Значение котангенса этого угла равно:

$-ctg(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

в) Вычислим значение выражения $\cos(\pi - \arcsin(-1))$.

Сначала найдем значение $\arcsin(-1)$. По определению арксинуса, это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-1$. Этот угол равен $-\frac{\pi}{2}$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\cos(\pi - (-\frac{\pi}{2})) = \cos(\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2})$

Значение косинуса этого угла равно:

$\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

Ответ: $0$

г) Вычислим значение выражения $\sin(\frac{3\pi}{2} - \arccos(-1))$.

Сначала найдем значение $\arccos(-1)$. По определению арккосинуса, это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $-1$. Этот угол равен $\pi$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\sin(\frac{3\pi}{2} - \pi) = \sin(\frac{3\pi - 2\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2})$

Значение синуса этого угла равно:

$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Ответ: $1$

Найдите значения выражений с помощью калькулятора или таблиц (6.8–6.9):

6.8. а) $\arcsin(0.5005)$; б) $\arccos(0.8091).$

а) Для нахождения значения выражения $ \arcsin(0,5005) $ необходимо найти угол, синус которого равен 0,5005. Для этого можно воспользоваться инженерным калькулятором или тригонометрическими таблицами.

Мы знаем, что $ \sin(30^{\circ}) = 0,5 $. Поскольку значение 0,5005 немного больше, чем 0,5, а функция $ y = \sin(x) $ является возрастающей на промежутке $ [-90^{\circ}; 90^{\circ}] $, искомый угол будет немного больше $ 30^{\circ} $.

С помощью калькулятора, установленного в режим вычисления в градусах, получаем:

$ \arcsin(0,5005) \approx 30,0333^{\circ} $

Для большей точности можно перевести дробную часть градусов в минуты (в одном градусе 60 минут):

$ 0,0333 \cdot 60' \approx 1,998' \approx 2' $

Таким образом, искомое значение приблизительно равно $ 30^{\circ}2' $.

Если требуется ответ в радианах, то $ \arcsin(0,5005) \approx 0,5241 $ рад.

Ответ: $ \arcsin(0,5005) \approx 30^{\circ}2' $ (или приблизительно $0,5241$ радиан).

б) Для нахождения значения выражения $ \arccos(0,8091) $ необходимо найти угол, косинус которого равен 0,8091.

Известно табличное значение $ \cos(36^{\circ}) \approx 0,8090 $. Поскольку значение 0,8091 немного больше, чем 0,8090, а функция $ y = \cos(x) $ является убывающей на промежутке $ [0^{\circ}; 180^{\circ}] $, искомый угол будет немного меньше $ 36^{\circ} $.

С помощью калькулятора, установленного в режим вычисления в градусах, получаем:

$ \arccos(0,8091) \approx 35,989^{\circ} $

Это значение очень близко к $ 36^{\circ} $. Переведем дробную часть градусов в минуты:

$ 35,989^{\circ} = 35^{\circ} + 0,989^{\circ} $

$ 0,989 \cdot 60' \approx 59,34' \approx 59' $

Следовательно, искомое значение приблизительно равно $ 35^{\circ}59' $.

Если требуется ответ в радианах, то $ \arccos(0,8091) \approx 0,6281 $ рад (что очень близко к значению $ \pi/5 \approx 0,6283 $ рад).

Ответ: $ \arccos(0,8091) \approx 35^{\circ}59' $ (или приблизительно $0,6281$ радиан).

6.9. a) $\arctg 3,5;$

б) $\arccos 0,2184.$

а) arctg3,5;

Задача заключается в нахождении угла $\alpha$, тангенс которого равен $3,5$. Такое значение выражается через обратную тригонометрическую функцию — арктангенс: $\alpha = \text{arctg}(3,5)$.

По определению, арктангенс числа $a$ ($\text{arctg}(a)$) — это угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ в радианах или $(-90^\circ; 90^\circ)$ в градусах, для которого выполняется равенство $\text{tg}(\alpha) = a$.

Так как $3,5$ не является стандартным табличным значением для тангенса (например, $1$, $\sqrt{3}$, и т.д.), для вычисления его арктангенса необходимо использовать инженерный калькулятор или математические таблицы.

При вычислении на калькуляторе, мы получаем:

В радианах: $\text{arctg}(3,5) \approx 1,2925$ рад.

В градусах: $\text{arctg}(3,5) \approx 74,05^\circ$.

Ответ: $\text{arctg}(3,5) \approx 1,2925$ рад. (или $\approx 74,05^\circ$).

б) arccos0,2184.

Задача заключается в нахождении угла $\beta$, косинус которого равен $0,2184$. Это значение выражается через обратную тригонометрическую функцию — арккосинус: $\beta = \text{arccos}(0,2184)$.

По определению, арккосинус числа $a$ ($\text{arccos}(a)$) — это угол $\beta$ из интервала $[0; \pi]$ в радианах или $[0^\circ; 180^\circ]$ в градусах, для которого выполняется равенство $\text{cos}(\beta) = a$. Область определения функции арккосинус — отрезок $[-1; 1]$. Значение $0,2184$ входит в этот отрезок, следовательно, задача имеет решение.

Так как $0,2184$ не является стандартным табличным значением для косинуса (например, $\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$, и т.д.), для вычисления его арккосинуса необходимо использовать инженерный калькулятор или математические таблицы.

При вычислении на калькуляторе, мы получаем:

В радианах: $\text{arccos}(0,2184) \approx 1,3506$ рад.

В градусах: $\text{arccos}(0,2184) \approx 77,39^\circ$.

Ответ: $\text{arccos}(0,2184) \approx 1,3506$ рад. (или $\approx 77,39^\circ$).

6.10. Решите уравнение:

a) $ \text{arctg}2x = \frac{\pi}{6}; $

б) $ \text{arcctg}(-3x) = \frac{\pi}{4}; $

в) $ 2\arcsin(5x - 1) = -\frac{\pi}{2}; $

г) $ 3\arccos(2x + 3) = \frac{5\pi}{2}. $

а) Исходное уравнение: $arctg(2x) = \frac{\pi}{6}$.

Согласно определению арктангенса, если $arctg(y) = z$, то $y = tg(z)$. Область значений арктангенса — интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Значение $\frac{\pi}{6}$ принадлежит этой области, следовательно, решение существует.

Применив определение, получим:

$2x = tg(\frac{\pi}{6})$

Зная, что $tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, подставляем это значение в уравнение:

$2x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Находим $x$, разделив обе части на 2:

$x = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Ответ: $x = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

б) Исходное уравнение: $arcctg(-3x) = \frac{\pi}{4}$.

Согласно определению арккотангенса, если $arcctg(y) = z$, то $y = ctg(z)$. Область значений арккотангенса — интервал $(0, \pi)$. Значение $\frac{\pi}{4}$ принадлежит этой области, следовательно, решение существует.

Применив определение, получим:

$-3x = ctg(\frac{\pi}{4})$

Зная, что $ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$, подставляем это значение в уравнение:

$-3x = 1$

Находим $x$, разделив обе части на -3:

$x = -\frac{1}{3}$

Ответ: $x = -\frac{1}{3}$.

в) Исходное уравнение: $2\arcsin(5x - 1) = -\frac{\pi}{2}$.

Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы выделить арксинус:

$\arcsin(5x - 1) = -\frac{\pi}{4}$

Область значений функции арксинус — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Значение $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит этому отрезку, значит, уравнение имеет решение.

По определению арксинуса, если $\arcsin(y) = z$, то $y = \sin(z)$. Применяем это к нашему уравнению:

$5x - 1 = \sin(-\frac{\pi}{4})$

Мы знаем, что $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставляем:

$5x - 1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь решаем полученное линейное уравнение относительно $x$:

$5x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$5x = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

$x = \frac{2 - \sqrt{2}}{10}$

Ответ: $x = \frac{2 - \sqrt{2}}{10}$.

г) Исходное уравнение: $3\arccos(2x + 3) = \frac{5\pi}{2}$.

Сначала разделим обе части уравнения на 3, чтобы выделить арккосинус:

$\arccos(2x + 3) = \frac{5\pi}{6}$

Область значений функции арккосинус — это отрезок $[0, \pi]$. Значение $\frac{5\pi}{6}$ принадлежит этому отрезку, так как $0 \le \frac{5\pi}{6} \le \pi$, значит, уравнение имеет решение.

По определению арккосинуса, если $\arccos(y) = z$, то $y = \cos(z)$. Применяем это к нашему уравнению:

$2x + 3 = \cos(\frac{5\pi}{6})$

Мы знаем, что $\cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставляем:

$2x + 3 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь решаем полученное линейное уравнение относительно $x$:

$2x = -3 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$2x = \frac{-6 - \sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{-6 - \sqrt{3}}{4}$

Ответ: $x = -\frac{6 + \sqrt{3}}{4}$.

6.11. Имеет ли смысл выражение:

а) $ \arcsin \sqrt{5} $;

б) $ \operatorname{arctg} \sqrt{7} $;

в) $ \arccos \sqrt{3} $;

г) $ \operatorname{arcctg} 0 $?

а) Выражение $\arcsin x$ имеет смысл, если его аргумент $x$ принадлежит области определения функции арксинус, которой является отрезок $[-1; 1]$. Это значит, что должно выполняться неравенство $|x| \le 1$.

В данном случае аргументом является $\sqrt{5}$. Оценим его значение: так как $4 < 5$, то $\sqrt{4} < \sqrt{5}$, следовательно, $2 < \sqrt{5}$.

Поскольку $\sqrt{5} > 1$, значение $\sqrt{5}$ не входит в область определения функции $\arcsin x$.

Следовательно, выражение $\arcsin\sqrt{5}$ не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

б) Выражение $\operatorname{arctg} x$ (арктангенс) имеет смысл для любого действительного значения аргумента $x$. Область определения функции арктангенс — это множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Число $\sqrt{7}$ является действительным числом, поэтому оно принадлежит области определения функции $\operatorname{arctg} x$.

Следовательно, выражение $\operatorname{arctg}\sqrt{7}$ имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

в) Выражение $\arccos x$ имеет смысл, если его аргумент $x$ принадлежит области определения функции арккосинус, которой является отрезок $[-1; 1]$. Это значит, что должно выполняться неравенство $|x| \le 1$.

В данном случае аргументом является $\sqrt{3}$. Оценим его значение: так как $1 < 3 < 4$, то $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$, следовательно, $1 < \sqrt{3} < 2$.

Поскольку $\sqrt{3} > 1$, значение $\sqrt{3}$ не входит в область определения функции $\arccos x$.

Следовательно, выражение $\arccos\sqrt{3}$ не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

г) Выражение $\operatorname{arcctg} x$ (арккотангенс) имеет смысл для любого действительного значения аргумента $x$. Область определения функции арккотангенс — это множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Число $0$ является действительным числом, поэтому оно принадлежит области определения функции $\operatorname{arcctg} x$.

Следовательно, выражение $\operatorname{arcctg} 0$ имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

1. Найдите область определения функции $y = \frac{x}{\cos x}$:

A) $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$;

B) $x \neq 2\pi n, n \in Z$;

C) $x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in Z$;

D) $x \neq \pi n, n \in Z$.

Для нахождения области определения функции $y = \frac{x}{\cos x}$ необходимо определить все значения переменной $x$, при которых данное выражение имеет смысл.

Эта функция представляет собой дробь, в знаменателе которой находится тригонометрическая функция $\cos x$. Основное ограничение для любой дроби — ее знаменатель не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено.

Следовательно, мы должны найти все значения $x$, для которых знаменатель $\cos x$ не равен нулю. Запишем это условие в виде неравенства:$\cos x \neq 0$

Чтобы определить эти значения $x$, сначала решим соответствующее уравнение:$\cos x = 0$

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Косинус равен нулю для углов, которые на единичной окружности соответствуют точкам $(0, 1)$ и $(0, -1)$. Этими углами являются $\frac{\pi}{2}$, $\frac{3\pi}{2}$, $\frac{5\pi}{2}$ и так далее, а также $-\frac{\pi}{2}$, $-\frac{3\pi}{2}$ и так далее. Все эти решения можно объединить в одну общую формулу:$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (то есть $n$ — любое целое число).

Таким образом, значения $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ при $n \in \mathbb{Z}$ не входят в область определения функции. Область определения — это все действительные числа, кроме указанных.Это можно записать как:$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами ответов, мы видим, что он полностью совпадает с вариантом A).

Ответ: A) $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. Найдите множество значений функции $y = 3 + 2 \cos x$:

A) $[-1; 3];$

B) $[-5; 0];$

C) $[1; 5];$

D) $[3; 5].$

Для нахождения множества значений функции $y = 3 + 2 \cos x$ необходимо определить, какие значения может принимать $y$ при всех возможных значениях $x$. Мы будем исходить из известного множества значений функции косинуса.

1. Область значений функции $f(x) = \cos x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ выполняется двойное неравенство:

$-1 \le \cos x \le 1$

2. Теперь рассмотрим выражение $2 \cos x$. Чтобы получить его границы, умножим все части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$2 \cdot (-1) \le 2 \cos x \le 2 \cdot 1$

$-2 \le 2 \cos x \le 2$

3. Наконец, рассмотрим всю функцию $y = 3 + 2 \cos x$. Для этого прибавим 3 ко всем частям полученного неравенства:

$3 + (-2) \le 3 + 2 \cos x \le 3 + 2$

$1 \le 3 + 2 \cos x \le 5$

Таким образом, мы получили, что значения функции $y$ находятся в пределах от 1 до 5 включительно. Это означает, что множество значений функции есть отрезок $[1; 5]$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он совпадает с вариантом C).

Ответ: C) $[1; 5]$.

3. График какой функции изображен на рисунке:

A) $y = \sin2x$; B) $y = \cos\frac{x}{2}$; C) $y = \cos2x$; D) $y = \sin\frac{x}{2}$?

Для определения функции, график которой изображен на рисунке, проанализируем его ключевые свойства и сравним их со свойствами предложенных функций.

Сначала определим тип функции. График проходит через начало координат, точку $(0, 0)$. Стандартная функция $y = \sin(x)$ проходит через начало координат, в то время как стандартная функция $y = \cos(x)$ в точке $x=0$ имеет значение $y=1$. Следовательно, искомая функция — это синус. Это сразу исключает варианты B) $y = \cos\frac{x}{2}$ и C) $y = \cos2x$.

Теперь нам нужно выбрать между вариантами A) $y = \sin2x$ и D) $y = \sin\frac{x}{2}$. Для этого определим период функции по графику. Период $T$ — это длина одного полного колебания. Из графика видно, что функция совершает одно полное колебание на отрезке от $x=0$ до $x=\pi$. Например, она начинается в точке $(0, 0)$, достигает максимума, возвращается в $0$ в точке $(\frac{\pi}{2}, 0)$, достигает минимума и снова возвращается в $0$ в точке $(\pi, 0)$, завершая цикл. Таким образом, период функции $T = \pi$.

Сравним этот период с периодами функций из оставшихся вариантов. Период функции вида $y = \sin(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

Для функции из варианта A) $y = \sin2x$, коэффициент $k=2$. Её период $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Это совпадает с периодом, который мы определили по графику.

Для функции из варианта D) $y = \sin\frac{x}{2}$, коэффициент $k=\frac{1}{2}$. Её период $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$. Это не совпадает с периодом на графике.

Следовательно, на рисунке изображен график функции $y = \sin2x$. Для дополнительной проверки можно взять контрольную точку. Например, при $x=\frac{\pi}{4}$ график показывает максимум, равный 1. Проверим это для нашей функции: $y = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Все сходится.

Ответ: A) $y = \sin2x$