Номер 6.7, страница 45 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6.7. a) $\operatorname{tg}(\pi + \arcsin(-\frac{1}{2}))$;

б) $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{2} + \operatorname{arctg}\sqrt{3})$;

в) $\cos(\pi - \arcsin(-1))$;

г) $\sin(\frac{3\pi}{2} - \arccos(-1))$.

а) Вычислим значение выражения $tg(\pi + \arcsin(\frac{1}{2}))$.

Сначала найдем значение $\arcsin(\frac{1}{2})$. По определению арксинуса, это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{6}$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$tg(\pi + \frac{\pi}{6})$

Используем формулу приведения, учитывая, что тангенс имеет период $\pi$, то есть $tg(\pi + \alpha) = tg(\alpha)$.

$tg(\pi + \frac{\pi}{6}) = tg(\frac{\pi}{6})$

Значение тангенса этого угла равно:

$tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

б) Вычислим значение выражения $tg(\frac{\pi}{2} + \operatorname{arctg}\sqrt{3})$.

Сначала найдем значение $\operatorname{arctg}\sqrt{3}$. По определению арктангенса, это угол из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$tg(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3})$

Используем формулу приведения $tg(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -ctg(\alpha)$.

$tg(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}) = -ctg(\frac{\pi}{3})$

Значение котангенса этого угла равно:

$-ctg(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

в) Вычислим значение выражения $\cos(\pi - \arcsin(-1))$.

Сначала найдем значение $\arcsin(-1)$. По определению арксинуса, это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-1$. Этот угол равен $-\frac{\pi}{2}$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\cos(\pi - (-\frac{\pi}{2})) = \cos(\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2})$

Значение косинуса этого угла равно:

$\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$

Ответ: $0$

г) Вычислим значение выражения $\sin(\frac{3\pi}{2} - \arccos(-1))$.

Сначала найдем значение $\arccos(-1)$. По определению арккосинуса, это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $-1$. Этот угол равен $\pi$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\sin(\frac{3\pi}{2} - \pi) = \sin(\frac{3\pi - 2\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2})$

Значение синуса этого угла равно:

$\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$

Ответ: $1$