Номер 6.2, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6.2. Найдите значение выражения:

a) $ \operatorname{arctg}(-1)-\operatorname{arctg} 1 $;

б) $ \arcsin (-1)-\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $;

в) $ \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right)-\operatorname{arctg} \sqrt{3} $;

г) $ \arcsin 1+\operatorname{arcctg} \sqrt{3} $.

а) Для вычисления выражения $\text{arctg}(-1) - \text{arctg}(1)$ найдем значения арктангенсов. Область значений арктангенса — это интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Значение $\text{arctg}(-1)$ равно $-\frac{\pi}{4}$, так как $\text{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -1$ и этот угол принадлежит указанному интервалу.

Значение $\text{arctg}(1)$ равно $\frac{\pi}{4}$, так как $\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$ и этот угол также принадлежит указанному интервалу.

Подставим найденные значения в выражение: $\text{arctg}(-1) - \text{arctg}(1) = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$.

б) Для вычисления выражения $\text{arcsin}(-1) - \text{arccos}(-\frac{\sqrt{2}}{2})$ найдем значения арксинуса и арккосинуса.

Область значений арксинуса — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Значение $\text{arcsin}(-1)$ равно $-\frac{\pi}{2}$, так как $\text{sin}(-\frac{\pi}{2}) = -1$.

Область значений арккосинуса — это отрезок $[0, \pi]$. Значение $\text{arccos}(-\frac{\sqrt{2}}{2})$ равно $\frac{3\pi}{4}$, так как $\text{cos}(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставим найденные значения в выражение: $\text{arcsin}(-1) - \text{arccos}(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{2\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{5\pi}{4}$.

Ответ: $-\frac{5\pi}{4}$.

в) Для вычисления выражения $\text{arcsin}(-\frac{1}{2}) - \text{arctg}(\sqrt{3})$ найдем значения каждой функции.

Область значений арксинуса — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Значение $\text{arcsin}(-\frac{1}{2})$ равно $-\frac{\pi}{6}$, так как $\text{sin}(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}$.

Область значений арктангенса — это интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Значение $\text{arctg}(\sqrt{3})$ равно $\frac{\pi}{3}$, так как $\text{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Подставим найденные значения в выражение: $\text{arcsin}(-\frac{1}{2}) - \text{arctg}(\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{2}$.

г) Для вычисления выражения $\text{arcsin}(1) + \text{arcctg}(\sqrt{3})$ найдем значения каждой функции.

Область значений арксинуса — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Значение $\text{arcsin}(1)$ равно $\frac{\pi}{2}$, так как $\text{sin}(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Область значений арккотангенса — это интервал $(0, \pi)$. Значение $\text{arcctg}(\sqrt{3})$ равно $\frac{\pi}{6}$, так как $\text{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$.

Подставим найденные значения в выражение: $\text{arcsin}(1) + \text{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.