Номер 5.7, страница 38 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

5.7. Постройте график функции, используя простейшие преобразования:

а) $y = \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 2$;

б) $y = 2 \sin\left(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}\right) - 1$.

а) $y = \cos(2x - \frac{\pi}{3}) + 2$

Для построения графика данной функции выполним последовательность простейших преобразований, взяв за основу график функции $y_0 = \cos x$.

1. Сначала преобразуем выражение в аргументе косинуса, чтобы явно выделить сдвиг по фазе. Вынесем коэффициент 2 за скобки: $y = \cos(2(x - \frac{\pi}{6})) + 2$.

2. Построение начинаем с графика $y_0 = \cos x$. Это стандартная косинусоида с периодом $T = 2\pi$ и амплитудой $A = 1$.

3. Выполняем сжатие графика $y_0 = \cos x$ вдоль оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза. Получаем график функции $y_1 = \cos(2x)$. Период этой функции будет $T_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

4. Сдвигаем полученный график $y_1 = \cos(2x)$ вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$. Получаем график функции $y_2 = \cos(2(x - \frac{\pi}{6}))$.

5. Наконец, сдвигаем график $y_2$ вверх вдоль оси ординат (оси Oy) на 2 единицы. Получаем искомый график функции $y = \cos(2(x - \frac{\pi}{6})) + 2$.

Итоговые характеристики графика: период $T = \pi$, амплитуда $A=1$, фазовый сдвиг на $\frac{\pi}{6}$ вправо, вертикальный сдвиг на 2 вверх. Область значений функции: $[1, 3]$.

Ответ: График функции $y = \cos(2x - \frac{\pi}{3}) + 2$ строится из графика $y = \cos x$ путем следующих преобразований: сжатие к оси Oy в 2 раза (период становится $\pi$), сдвиг по оси Ox на $\frac{\pi}{6}$ вправо и сдвиг по оси Oy на 2 единицы вверх.

б) $y = 2 \sin(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}) - 1$

Для построения графика данной функции выполним последовательность простейших преобразований, взяв за основу график функции $y_0 = \sin x$.

1. Сначала преобразуем исходное выражение. Воспользуемся свойством нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$: $y = 2 \sin(-(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6})) - 1 = -2 \sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) - 1$.

2. Теперь выделим сдвиг по фазе, вынеся коэффициент $\frac{1}{2}$ за скобки в аргументе синуса: $y = -2 \sin(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3})) - 1$.

3. Построение начинаем с графика $y_0 = \sin x$. Это стандартная синусоида с периодом $T = 2\pi$ и амплитудой $A = 1$.

4. Выполняем растяжение графика $y_0 = \sin x$ от оси ординат (оси Oy) в 2 раза. Получаем график функции $y_1 = \sin(\frac{1}{2}x)$. Период этой функции будет $T_1 = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

5. Сдвигаем полученный график $y_1 = \sin(\frac{1}{2}x)$ вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$. Получаем график функции $y_2 = \sin(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3}))$.

6. Растягиваем график $y_2$ от оси Ox в 2 раза. Получаем график функции $y_3 = 2 \sin(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3}))$. Амплитуда становится равной 2.

7. Отражаем график $y_3$ симметрично относительно оси Ox. Получаем график функции $y_4 = -2 \sin(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3}))$.

8. Наконец, сдвигаем график $y_4$ вниз вдоль оси Oy на 1 единицу. Получаем искомый график функции $y = -2 \sin(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3})) - 1$.

Итоговые характеристики графика: период $T = 4\pi$, амплитуда $A=2$, фазовый сдвиг на $\frac{\pi}{3}$ вправо, график отражен относительно горизонтальной оси симметрии и сдвинут на 1 вниз. Область значений функции: $[-3, 1]$.

Ответ: График функции $y = 2 \sin(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}) - 1$ строится из графика $y = \sin x$ путем следующих преобразований: растяжение от оси Oy в 2 раза (период становится $4\pi$), сдвиг по оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ вправо, растяжение от оси Ox в 2 раза (амплитуда становится 2), симметричное отражение относительно оси Ox и сдвиг по оси Oy на 1 единицу вниз.