Номер 5.5, страница 38 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

5.5. Постройте график функции $y = f(x)$:

a) $y = \sin2x$;

б) $y = \cos3x$;

в) $y = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$;

г) $y = \operatorname{ctg}\frac{x}{3}$;

д) $y = 3 - \sin\frac{x}{2}$;

е) $y = \cos0,5x - 2$.

а) $y = \sin{2x}$

Для построения графика функции $y = \sin{2x}$ воспользуемся преобразованием графика базовой функции $y = \sin{x}$.

1. График функции $y = \sin{x}$ представляет собой синусоиду с периодом $T = 2\pi$ и амплитудой 1. Область значений функции: $E(y) = [-1; 1]$.

2. Функция $y = \sin{2x}$ получается из $y = \sin{x}$ преобразованием $f(x) \rightarrow f(kx)$. В нашем случае $k=2$. Это преобразование соответствует сжатию графика вдоль оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза.

3. Период новой функции $T_1$ вычисляется по формуле $T_1 = \frac{T}{|k|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

4. Амплитуда и область значений остаются прежними: амплитуда равна 1, $E(y) = [-1; 1]$.

5. Найдем ключевые точки на одном периоде, например, на отрезке $[0; \pi]$:

- Нули функции: $ \sin{2x} = 0 \implies 2x = n\pi \implies x = \frac{n\pi}{2}, n \in \mathbb{Z} $. На отрезке $[0; \pi]$ это точки $x=0$, $x=\frac{\pi}{2}$, $x=\pi$.

- Максимум ($y=1$): $ \sin{2x} = 1 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + n\pi $. На отрезке $[0; \pi]$ это точка $x=\frac{\pi}{4}$.

- Минимум ($y=-1$): $ \sin{2x} = -1 \implies 2x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi \implies x = -\frac{\pi}{4} + n\pi $. На отрезке $[0; \pi]$ это точка $x=\frac{3\pi}{4}$.

Таким образом, чтобы построить график, нужно взять синусоиду $y=\sin x$ и сжать ее в 2 раза к оси Oy.

Ответ: График функции $y = \sin{2x}$ – это синусоида, полученная из графика $y = \sin{x}$ сжатием в 2 раза вдоль оси Ox. Период функции равен $\pi$, амплитуда 1, область значений $[-1; 1]$.

б) $y = \cos{3x}$

Для построения графика функции $y = \cos{3x}$ выполним преобразование графика базовой функции $y = \cos{x}$.

1. График функции $y = \cos{x}$ – это косинусоида с периодом $T = 2\pi$ и амплитудой 1. Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.

2. Функция $y = \cos{3x}$ получается из $y = \cos{x}$ преобразованием $f(x) \rightarrow f(kx)$, где $k=3$. Это соответствует сжатию графика вдоль оси Ox в 3 раза.

3. Период новой функции $T_1 = \frac{T}{|k|} = \frac{2\pi}{3}$.

4. Амплитуда и область значений не изменяются.

5. Ключевые точки на одном периоде $[0; \frac{2\pi}{3}]$:

- Максимумы ($y=1$): $ \cos{3x} = 1 \implies 3x = 2n\pi \implies x = \frac{2n\pi}{3} $. На отрезке это точки $x=0$ и $x=\frac{2\pi}{3}$.

- Минимум ($y=-1$): $ \cos{3x} = -1 \implies 3x = \pi + 2n\pi \implies x = \frac{\pi}{3} + \frac{2n\pi}{3} $. На отрезке это точка $x=\frac{\pi}{3}$.

- Нули функции: $ \cos{3x} = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + n\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{n\pi}{3} $. На отрезке это точки $x=\frac{\pi}{6}$ и $x=\frac{\pi}{2}$.

Следовательно, для построения графика нужно взять косинусоиду $y=\cos x$ и сжать ее в 3 раза к оси Oy.

Ответ: График функции $y = \cos{3x}$ – это косинусоида, полученная из графика $y = \cos{x}$ сжатием в 3 раза вдоль оси Ox. Период функции равен $\frac{2\pi}{3}$, амплитуда 1, область значений $[-1; 1]$.

в) $y = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$

Построение графика функции $y = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ основано на преобразовании графика $y = \operatorname{tg}{x}$.

1. График функции $y = \operatorname{tg}{x}$ (тангенсоида) имеет период $T = \pi$. Вертикальные асимптоты находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + n\pi, n \in \mathbb{Z}$.

2. Функция $y = \operatorname{tg}(\frac{x}{2})$ получается из $y = \operatorname{tg}{x}$ преобразованием $f(x) \rightarrow f(kx)$ с коэффициентом $k = \frac{1}{2}$. Это соответствует растяжению графика вдоль оси Ox в 2 раза.

3. Период новой функции $T_1 = \frac{T}{|k|} = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.

4. Положение асимптот также изменится. Если для $y=\operatorname{tg}z$ асимптоты были при $z = \frac{\pi}{2} + n\pi$, то для $y = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ они будут при $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi$, откуда $x = \pi + 2n\pi, n \in \mathbb{Z}$.

5. Нули функции: $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = n\pi \implies x = 2n\pi, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ – это тангенсоида, полученная из графика $y = \operatorname{tg}{x}$ растяжением в 2 раза вдоль оси Ox. Период функции равен $2\pi$. Вертикальные асимптоты находятся в точках $x = \pi + 2n\pi, n \in \mathbb{Z}$.

г) $y = \operatorname{ctg}\frac{x}{3}$

График функции $y = \operatorname{ctg}\frac{x}{3}$ строим путем преобразования графика $y = \operatorname{ctg}{x}$.

1. График функции $y = \operatorname{ctg}{x}$ (котангенсоида) имеет период $T = \pi$. Вертикальные асимптоты находятся в точках $x = n\pi, n \in \mathbb{Z}$.

2. Функция $y = \operatorname{ctg}(\frac{x}{3})$ получается из $y = \operatorname{ctg}{x}$ преобразованием $f(x) \rightarrow f(kx)$ с коэффициентом $k = \frac{1}{3}$. Это соответствует растяжению графика вдоль оси Ox в 3 раза.

3. Период новой функции $T_1 = \frac{T}{|k|} = \frac{\pi}{1/3} = 3\pi$.

4. Новые асимптоты: $\frac{x}{3} = n\pi \implies x = 3n\pi, n \in \mathbb{Z}$.

5. Нули функции: $\operatorname{ctg}\frac{x}{3} = 0 \implies \frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + n\pi \implies x = \frac{3\pi}{2} + 3n\pi, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg}\frac{x}{3}$ – это котангенсоида, полученная из графика $y = \operatorname{ctg}{x}$ растяжением в 3 раза вдоль оси Ox. Период функции равен $3\pi$. Вертикальные асимптоты находятся в точках $x = 3n\pi, n \in \mathbb{Z}$.

д) $y = 3 - \sin\frac{x}{2}$

Для построения графика функции $y = 3 - \sin\frac{x}{2}$ выполним последовательность преобразований над графиком $y = \sin x$.

1. $y_1 = \sin\frac{x}{2}$: Растягиваем график $y = \sin x$ вдоль оси Ox в 2 раза. Период становится $T_1 = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

2. $y_2 = -\sin\frac{x}{2}$: Отражаем график $y_1 = \sin\frac{x}{2}$ симметрично относительно оси Ox. Теперь там, где были максимумы, станут минимумы, и наоборот.

3. $y = 3 - \sin\frac{x}{2}$: Сдвигаем график $y_2 = -\sin\frac{x}{2}$ вверх на 3 единицы вдоль оси Oy.

Итоговые свойства графика:

- Период: $T=4\pi$.

- Область значений: Изначально для $y_2$ область значений была $[-1; 1]$. После сдвига на 3 вверх она станет $[ -1+3; 1+3 ] = [2; 4]$.

- Средняя линия графика: $y = 3$.

- Максимальные значения $y=4$ достигаются, когда $-\sin\frac{x}{2}=1 \implies \sin\frac{x}{2}=-1 \implies \frac{x}{2}=-\frac{\pi}{2}+2n\pi \implies x = -\pi + 4n\pi$.

- Минимальные значения $y=2$ достигаются, когда $-\sin\frac{x}{2}=-1 \implies \sin\frac{x}{2}=1 \implies \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+2n\pi \implies x = \pi + 4n\pi$.

Ответ: График функции получается из синусоиды $y = \sin x$ путем ее растяжения в 2 раза вдоль оси Ox, затем симметричного отражения относительно оси Ox и, наконец, сдвига на 3 единицы вверх вдоль оси Oy. Период функции $4\pi$, область значений $[2; 4]$.

е) $y = \cos{0,5x} - 2$

Для построения графика функции $y = \cos{0,5x} - 2$ (или $y = \cos\frac{x}{2} - 2$) преобразуем график $y=\cos x$.

1. $y_1 = \cos\frac{x}{2}$: Растягиваем график $y = \cos x$ вдоль оси Ox в 2 раза (так как коэффициент при $x$ равен $0,5 = 1/2$). Период становится $T_1 = \frac{2\pi}{0,5} = 4\pi$. Амплитуда остается равной 1.

2. $y = \cos\frac{x}{2} - 2$: Сдвигаем график $y_1 = \cos\frac{x}{2}$ вниз на 2 единицы вдоль оси Oy.

Итоговые свойства графика:

- Период: $T=4\pi$.

- Область значений: Изначально для $y_1$ область значений была $[-1; 1]$. После сдвига на 2 вниз она станет $[ -1-2; 1-2 ] = [-3; -1]$.

- Средняя линия графика: $y = -2$.

- Максимальные значения $y=-1$ достигаются, когда $\cos\frac{x}{2}=1 \implies \frac{x}{2}=2n\pi \implies x=4n\pi$.

- Минимальные значения $y=-3$ достигаются, когда $\cos\frac{x}{2}=-1 \implies \frac{x}{2}=\pi+2n\pi \implies x=2\pi+4n\pi$.

Ответ: График функции получается из косинусоиды $y = \cos x$ путем ее растяжения в 2 раза вдоль оси Ox и последующего сдвига на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Период функции $4\pi$, область значений $[-3; -1]$.