Номер 6.3, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6.3. Сравните:

а) $ \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ и } \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} $;

б) $ \arcsin \frac{1}{2} \text{ и } \operatorname{arctg} 1 $;

в) $ \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \text{ и } \operatorname{arctg} \sqrt{3} $;

г) $ \operatorname{arcctg}(-1) \text{ и } \operatorname{arctg}(-1) $.

а) Чтобы сравнить $\arcsin{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ и $\arccos{\frac{\sqrt{2}}{2}}$, найдем значения этих выражений.

По определению, $\arcsin{x}$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$. Значит, $\arcsin{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ — это угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, $\arcsin{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\pi}{4}$.

По определению, $\arccos{x}$ — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $x$.Значит, $\arccos{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ — это угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этот угол также равен $\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, $\arccos{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\pi}{4}$.

Сравниваем полученные значения: $\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.Следовательно, $\arcsin{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \arccos{\frac{\sqrt{2}}{2}}$.

Ответ: $\arcsin{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \arccos{\frac{\sqrt{2}}{2}}$.

б) Чтобы сравнить $\arcsin{\frac{1}{2}}$ и $\operatorname{arcctg}{1}$, найдем их значения.

$\arcsin{\frac{1}{2}}$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{6}$.

Значит, $\arcsin{\frac{1}{2}} = \frac{\pi}{6}$.

$\operatorname{arcctg}{1}$ — это угол из промежутка $(0; \pi)$, котангенс которого равен $1$. Этот угол равен $\frac{\pi}{4}$.

Значит, $\operatorname{arcctg}{1} = \frac{\pi}{4}$.

Теперь сравним дроби $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{4}$. Приведем их к общему знаменателю $12$:

$\frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{12}$

$\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12}$

Так как $2\pi < 3\pi$, то $\frac{2\pi}{12} < \frac{3\pi}{12}$, следовательно, $\frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{4}$.

Ответ: $\arcsin{\frac{1}{2}} < \operatorname{arcctg}{1}$.

в) Сравним $\arccos{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$ и $\operatorname{arctg}{\sqrt{3}}$.

Найдем значение $\arccos{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$. Это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Для нахождения этого угла можно использовать формулу $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.

$\arccos{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} = \pi - \arccos{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Найдем значение $\operatorname{arctg}{\sqrt{3}}$. Это угол из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.

Теперь сравним $\frac{5\pi}{6}$ и $\frac{\pi}{3}$. Приведем дробь $\frac{\pi}{3}$ к знаменателю $6$:

$\frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{6}$.

Так как $5\pi > 2\pi$, то $\frac{5\pi}{6} > \frac{2\pi}{6}$.

Следовательно, $\arccos{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} > \operatorname{arctg}{\sqrt{3}}$.

Ответ: $\arccos{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)} > \operatorname{arctg}{\sqrt{3}}$.

г) Сравним $\operatorname{arcctg}{(-1)}$ и $\operatorname{arctg}{(-1)}$.

Найдем значение $\operatorname{arcctg}{(-1)}$. Это угол из промежутка $(0; \pi)$, котангенс которого равен $-1$. Для нахождения этого угла можно использовать формулу $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg}(x)$.

$\operatorname{arcctg}{(-1)} = \pi - \operatorname{arcctg}(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Найдем значение $\operatorname{arctg}{(-1)}$. Это угол из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $-1$. Для нахождения этого угла можно использовать свойство нечетности арктангенса: $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x)$.

$\operatorname{arctg}{(-1)} = -\operatorname{arctg}(1) = -\frac{\pi}{4}$.

Теперь сравним полученные значения: $\frac{3\pi}{4}$ и $-\frac{\pi}{4}$.

Любое положительное число больше любого отрицательного числа, поэтому $\frac{3\pi}{4} > -\frac{\pi}{4}$.

Следовательно, $\operatorname{arcctg}{(-1)} > \operatorname{arctg}{(-1)}$.

Ответ: $\operatorname{arcctg}{(-1)} > \operatorname{arctg}{(-1)}$.