Номер 6.10, страница 45 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6.10. Решите уравнение:

a) $ \text{arctg}2x = \frac{\pi}{6}; $

б) $ \text{arcctg}(-3x) = \frac{\pi}{4}; $

в) $ 2\arcsin(5x - 1) = -\frac{\pi}{2}; $

г) $ 3\arccos(2x + 3) = \frac{5\pi}{2}. $

а) Исходное уравнение: $arctg(2x) = \frac{\pi}{6}$.

Согласно определению арктангенса, если $arctg(y) = z$, то $y = tg(z)$. Область значений арктангенса — интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Значение $\frac{\pi}{6}$ принадлежит этой области, следовательно, решение существует.

Применив определение, получим:

$2x = tg(\frac{\pi}{6})$

Зная, что $tg(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, подставляем это значение в уравнение:

$2x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Находим $x$, разделив обе части на 2:

$x = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Ответ: $x = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

б) Исходное уравнение: $arcctg(-3x) = \frac{\pi}{4}$.

Согласно определению арккотангенса, если $arcctg(y) = z$, то $y = ctg(z)$. Область значений арккотангенса — интервал $(0, \pi)$. Значение $\frac{\pi}{4}$ принадлежит этой области, следовательно, решение существует.

Применив определение, получим:

$-3x = ctg(\frac{\pi}{4})$

Зная, что $ctg(\frac{\pi}{4}) = 1$, подставляем это значение в уравнение:

$-3x = 1$

Находим $x$, разделив обе части на -3:

$x = -\frac{1}{3}$

Ответ: $x = -\frac{1}{3}$.

в) Исходное уравнение: $2\arcsin(5x - 1) = -\frac{\pi}{2}$.

Сначала разделим обе части уравнения на 2, чтобы выделить арксинус:

$\arcsin(5x - 1) = -\frac{\pi}{4}$

Область значений функции арксинус — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Значение $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит этому отрезку, значит, уравнение имеет решение.

По определению арксинуса, если $\arcsin(y) = z$, то $y = \sin(z)$. Применяем это к нашему уравнению:

$5x - 1 = \sin(-\frac{\pi}{4})$

Мы знаем, что $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставляем:

$5x - 1 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь решаем полученное линейное уравнение относительно $x$:

$5x = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

$5x = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$

$x = \frac{2 - \sqrt{2}}{10}$

Ответ: $x = \frac{2 - \sqrt{2}}{10}$.

г) Исходное уравнение: $3\arccos(2x + 3) = \frac{5\pi}{2}$.

Сначала разделим обе части уравнения на 3, чтобы выделить арккосинус:

$\arccos(2x + 3) = \frac{5\pi}{6}$

Область значений функции арккосинус — это отрезок $[0, \pi]$. Значение $\frac{5\pi}{6}$ принадлежит этому отрезку, так как $0 \le \frac{5\pi}{6} \le \pi$, значит, уравнение имеет решение.

По определению арккосинуса, если $\arccos(y) = z$, то $y = \cos(z)$. Применяем это к нашему уравнению:

$2x + 3 = \cos(\frac{5\pi}{6})$

Мы знаем, что $\cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставляем:

$2x + 3 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь решаем полученное линейное уравнение относительно $x$:

$2x = -3 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$2x = \frac{-6 - \sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{-6 - \sqrt{3}}{4}$

Ответ: $x = -\frac{6 + \sqrt{3}}{4}$.