Номер 6.11, страница 45 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6.11. Имеет ли смысл выражение:

а) $ \arcsin \sqrt{5} $;

б) $ \operatorname{arctg} \sqrt{7} $;

в) $ \arccos \sqrt{3} $;

г) $ \operatorname{arcctg} 0 $?

а) Выражение $\arcsin x$ имеет смысл, если его аргумент $x$ принадлежит области определения функции арксинус, которой является отрезок $[-1; 1]$. Это значит, что должно выполняться неравенство $|x| \le 1$.

В данном случае аргументом является $\sqrt{5}$. Оценим его значение: так как $4 < 5$, то $\sqrt{4} < \sqrt{5}$, следовательно, $2 < \sqrt{5}$.

Поскольку $\sqrt{5} > 1$, значение $\sqrt{5}$ не входит в область определения функции $\arcsin x$.

Следовательно, выражение $\arcsin\sqrt{5}$ не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

б) Выражение $\operatorname{arctg} x$ (арктангенс) имеет смысл для любого действительного значения аргумента $x$. Область определения функции арктангенс — это множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Число $\sqrt{7}$ является действительным числом, поэтому оно принадлежит области определения функции $\operatorname{arctg} x$.

Следовательно, выражение $\operatorname{arctg}\sqrt{7}$ имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.

в) Выражение $\arccos x$ имеет смысл, если его аргумент $x$ принадлежит области определения функции арккосинус, которой является отрезок $[-1; 1]$. Это значит, что должно выполняться неравенство $|x| \le 1$.

В данном случае аргументом является $\sqrt{3}$. Оценим его значение: так как $1 < 3 < 4$, то $\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$, следовательно, $1 < \sqrt{3} < 2$.

Поскольку $\sqrt{3} > 1$, значение $\sqrt{3}$ не входит в область определения функции $\arccos x$.

Следовательно, выражение $\arccos\sqrt{3}$ не имеет смысла.

Ответ: не имеет смысла.

г) Выражение $\operatorname{arcctg} x$ (арккотангенс) имеет смысл для любого действительного значения аргумента $x$. Область определения функции арккотангенс — это множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Число $0$ является действительным числом, поэтому оно принадлежит области определения функции $\operatorname{arcctg} x$.

Следовательно, выражение $\operatorname{arcctg} 0$ имеет смысл.

Ответ: имеет смысл.