Номер 7, страница 46 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

7. График какой функции изображен на рисунке:

A. $y = \cos2x;$

B. $y = -2 \cos x;$

C. $y = 2\cos x;$

D. $y = 2 \sin x?$

Чтобы определить, какая функция соответствует графику на рисунке, проанализируем его ключевые характеристики: тип функции, амплитуду и период.

1. Определение типа функции. График является периодической функцией. В точке $x=0$ функция достигает своего максимального значения $y=2$. Стандартная функция $y=\cos(x)$ имеет максимум при $x=0$, в то время как функция $y=\sin(x)$ проходит через ноль при $x=0$. Следовательно, график описывается функцией вида $y = A \cos(kx)$.

2. Определение амплитуды A. Амплитуда — это максимальное отклонение функции от оси абсцисс. На графике видно, что максимальное значение функции $y_{max} = 2$, а минимальное — $y_{min} = -2$. Амплитуда $A$ может быть вычислена по формуле: $A = \frac{y_{max} - y_{min}}{2} = \frac{2 - (-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Поскольку в точке $x=0$ функция имеет максимум, а не минимум, коэффициент $A$ положителен. Таким образом, $A = 2$.

3. Определение периода T и коэффициента k. Период — это длина одного полного колебания. Из графика видно, что расстояние между максимумом в точке $x=0$ и минимумом в точке $x=\pi$ составляет половину периода. Таким образом, $\frac{T}{2} = \pi - 0 = \pi$. Полный период $T = 2\pi$. Период функции $y = A \cos(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$. Подставляем найденное значение периода в формулу: $2\pi = \frac{2\pi}{|k|}$. Отсюда следует, что $|k|=1$. Для простоты возьмем $k=1$.

4. Итоговая формула и проверка вариантов. Подставляя найденные значения $A=2$ и $k=1$ в общую формулу $y = A \cos(kx)$, получаем функцию $y = 2\cos(x)$. Теперь сравним полученную функцию с предложенными вариантами:

• A. $y = \cos(2x)$: Неверно. Амплитуда равна 1, а не 2.
• B. $y = -2\cos(x)$: Неверно. При $x=0$ значение функции $y = -2\cos(0) = -2$, а на графике $y=2$.
• C. $y = 2\cos(x)$: Верно. Амплитуда равна 2, период равен $2\pi$, и при $x=0$ значение $y = 2\cos(0) = 2$. Все характеристики совпадают.
• D. $y = 2\sin(x)$: Неверно. При $x=0$ значение функции $y = 2\sin(0) = 0$, а на графике $y=2$.

Ответ: C. $y = 2\cos x$.