Номер 9, страница 46 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9. Сравните числа $ \arcsin \frac{1}{2} $ и $ \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $:

A) $ \arcsin \frac{1}{2} = \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right); $

B) $ \arcsin \frac{1}{2} > \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right); $

C) $ \arcsin \frac{1}{2} < \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right); $

D) $ \arcsin \frac{1}{2} \leq \arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right). $

Для того чтобы сравнить числа $\arcsin\frac{1}{2}$ и $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, необходимо вычислить значение каждого выражения в радианах.

1. Вычисление $\arcsin\frac{1}{2}$

По определению, арксинус числа $a$ (обозначается $\arcsin a$) — это угол $\alpha$, принадлежащий отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, синус которого равен $a$.

Нам нужно найти угол $\alpha$, такой что $\sin\alpha = \frac{1}{2}$ и $-\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2}$.

Из таблицы стандартных тригонометрических значений известно, что $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.

Поскольку угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, то мы можем заключить, что:

$\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.

2. Вычисление $\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

По определению, арккосинус числа $a$ (обозначается $\arccos a$) — это угол $\beta$, принадлежащий отрезку $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$.

Нам нужно найти угол $\beta$, такой что $\cos\beta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $0 \le \beta \le \pi$.

Для нахождения арккосинуса отрицательного аргумента используется формула: $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.

Применим эту формулу к нашему выражению:

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Из таблицы стандартных тригонометрических значений известно, что $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$, поэтому $\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

Теперь подставим найденное значение обратно в формулу:

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

3. Сравнение полученных значений

Мы получили следующие результаты:

$\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{5\pi}{6}$

Теперь необходимо сравнить два числа: $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$.

Так как $1 < 5$, то $\frac{1}{6} < \frac{5}{6}$, и, следовательно, $\frac{\pi}{6} < \frac{5\pi}{6}$.

Таким образом, мы приходим к выводу, что $\arcsin\frac{1}{2} < \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Данное неравенство соответствует варианту ответа C.

Ответ: C) $\arcsin\frac{1}{2} < \arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$