Номер 3, страница 45 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3. График какой функции изображен на рисунке:

A) $y = \sin2x$; B) $y = \cos\frac{x}{2}$; C) $y = \cos2x$; D) $y = \sin\frac{x}{2}$?

Для определения функции, график которой изображен на рисунке, проанализируем его ключевые свойства и сравним их со свойствами предложенных функций.

Сначала определим тип функции. График проходит через начало координат, точку $(0, 0)$. Стандартная функция $y = \sin(x)$ проходит через начало координат, в то время как стандартная функция $y = \cos(x)$ в точке $x=0$ имеет значение $y=1$. Следовательно, искомая функция — это синус. Это сразу исключает варианты B) $y = \cos\frac{x}{2}$ и C) $y = \cos2x$.

Теперь нам нужно выбрать между вариантами A) $y = \sin2x$ и D) $y = \sin\frac{x}{2}$. Для этого определим период функции по графику. Период $T$ — это длина одного полного колебания. Из графика видно, что функция совершает одно полное колебание на отрезке от $x=0$ до $x=\pi$. Например, она начинается в точке $(0, 0)$, достигает максимума, возвращается в $0$ в точке $(\frac{\pi}{2}, 0)$, достигает минимума и снова возвращается в $0$ в точке $(\pi, 0)$, завершая цикл. Таким образом, период функции $T = \pi$.

Сравним этот период с периодами функций из оставшихся вариантов. Период функции вида $y = \sin(kx)$ вычисляется по формуле $T = \frac{2\pi}{|k|}$.

Для функции из варианта A) $y = \sin2x$, коэффициент $k=2$. Её период $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Это совпадает с периодом, который мы определили по графику.

Для функции из варианта D) $y = \sin\frac{x}{2}$, коэффициент $k=\frac{1}{2}$. Её период $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$. Это не совпадает с периодом на графике.

Следовательно, на рисунке изображен график функции $y = \sin2x$. Для дополнительной проверки можно взять контрольную точку. Например, при $x=\frac{\pi}{4}$ график показывает максимум, равный 1. Проверим это для нашей функции: $y = \sin(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Все сходится.

Ответ: A) $y = \sin2x$