Номер 6.4, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6.4. Найдите значение выражения:

а) Данное выражение вычисляется на основе определения арккосинуса. По определению, для любого числа $x$, принадлежащего отрезку $[-1; 1]$, выполняется тождество: $\cos(\arccos(x)) = x$. В нашем случае $x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это значение находится в пределах отрезка $[-1; 1]$, так как $-1 \le -\frac{\sqrt{3}}{2} \le 1$. Следовательно, значение выражения равно самому числу под знаком арккосинуса.

$\cos\left(\arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Также можно решить по шагам:

1. Найдём значение $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$. Это угол $\alpha$ из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим углом является $\alpha = \frac{5\pi}{6}$.

2. Найдём косинус этого угла: $\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) Для вычисления значения выражения $\operatorname{tg}(\operatorname{arcctg}(\sqrt{3}))$ найдём сначала значение внутреннего выражения.

Пусть $\alpha = \operatorname{arcctg}(\sqrt{3})$. По определению арккотангенса, это угол $\alpha$ из интервала $(0, \pi)$, котангенс которого равен $\sqrt{3}$. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$. Так как $\frac{\pi}{6}$ принадлежит интервалу $(0, \pi)$, то $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$.

Теперь подставим найденное значение в исходное выражение: $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6})$.

Значение тангенса этого угла равно $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) Данное выражение вычисляется на основе определения арксинуса. По определению, для любого числа $x$, принадлежащего отрезку $[-1; 1]$, выполняется тождество: $\sin(\arcsin(x)) = x$. В нашем случае $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это значение находится в пределах отрезка $[-1; 1]$, так как $-1 \le -\frac{\sqrt{2}}{2} \le 1$. Следовательно, значение выражения равно самому числу под знаком арксинуса.

$\sin\left(\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Также можно решить по шагам:

1. Найдём значение $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$. Это угол $\alpha$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этим углом является $\alpha = -\frac{\pi}{4}$.

2. Найдём синус этого угла: $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) Данное выражение вычисляется аналогично пункту а) на основе определения арккосинуса. Для любого числа $x \in [-1; 1]$ справедливо тождество $\cos(\arccos(x)) = x$. В данном случае $x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это значение принадлежит отрезку $[-1; 1]$. Следовательно, значение выражения равно $x$.

$\cos\left(\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Также можно решить по шагам:

1. Найдём значение $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$. Это угол $\alpha$ из отрезка $[0, \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Этим углом является $\alpha = \frac{\pi}{6}$.

2. Найдём косинус этого угла: $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.