Номер 6.5, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6.5. Найдите значение выражения:

а) $ \text{arcctg}1 - \text{arcctg}\sqrt{3} - \text{arccos}\left(-\frac{1}{2}\right); $

б) $ \text{arcsin}\left(-\frac{1}{2}\right) + \text{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) - \text{arcctg}\sqrt{3}; $

в) $ \text{arcsin}(-1) - \frac{3}{2} \text{arccos}\frac{1}{2} + 3 \text{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right); $

г) $ -4 \cdot \text{arcsin}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 8 \text{arccos}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 15 \cdot \text{arcctg}\frac{\sqrt{3}}{3}. $

а) $ \mathrm{arcctg} \, 1 - \mathrm{arctg} \, \sqrt{3} - \mathrm{arccos} \left(-\frac{1}{2}\right) $

Для решения найдем значение каждой из аркфункций:

$ \mathrm{arcctg} \, 1 = \frac{\pi}{4} $, так как $ \mathrm{ctg} \, \frac{\pi}{4} = 1 $ и $ \frac{\pi}{4} \in (0, \pi) $.

$ \mathrm{arctg} \, \sqrt{3} = \frac{\pi}{3} $, так как $ \mathrm{tg} \, \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} $ и $ \frac{\pi}{3} \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $.

$ \mathrm{arccos} \left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \mathrm{arccos} \, \frac{1}{2} = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $, так как $ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $ и $ \frac{2\pi}{3} \in [0, \pi] $.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$ \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{4} - \left(\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{3} = \frac{\pi}{4} - \pi = \frac{\pi - 4\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} $.

Ответ: $ -\frac{3\pi}{4} $

б) $ \mathrm{arcsin}\left(-\frac{1}{2}\right) + \mathrm{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) - \mathrm{arcctg} \, \sqrt{3} $

Для решения найдем значение каждой из аркфункций, используя свойства нечетности арксинуса и арктангенса:

$ \mathrm{arcsin}\left(-\frac{1}{2}\right) = -\mathrm{arcsin}\left(\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6} $, так как $ \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $.

$ \mathrm{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\mathrm{arctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6} $, так как $ \mathrm{tg} \, \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} $.

$ \mathrm{arcctg} \, \sqrt{3} = \frac{\pi}{6} $, так как $ \mathrm{ctg} \, \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} $.

Подставим значения в выражение:

$ -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = -3 \cdot \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} $.

Ответ: $ -\frac{\pi}{2} $

в) $ \mathrm{arcsin}(-1) - \frac{3}{2}\mathrm{arccos}\frac{1}{2} + 3\mathrm{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) $

Найдем значения аркфункций:

$ \mathrm{arcsin}(-1) = -\frac{\pi}{2} $, так как $ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 $.

$ \mathrm{arccos}\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} $, так как $ \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} $.

$ \mathrm{arcctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \mathrm{arcctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $, так как $ \mathrm{ctg} \, \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} $.

Теперь выполним вычисления:

$ -\frac{\pi}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{3} + 3 \cdot \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + 2\pi = -\pi + 2\pi = \pi $.

Ответ: $ \pi $

г) $ -4 \cdot \mathrm{arcsin}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 8 \cdot \mathrm{arccos}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 15 \cdot \mathrm{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} $

Найдем значения аркфункций:

$ \mathrm{arcsin}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\mathrm{arcsin}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4} $, так как $ \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

$ \mathrm{arccos}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \mathrm{arccos}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $, так как $ \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

$ \mathrm{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3} = \mathrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6} $, так как $ \mathrm{tg} \, \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} $.

Подставим значения и вычислим:

$ -4 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 8 \cdot \frac{3\pi}{4} - 15 \cdot \frac{\pi}{6} = \pi + 6\pi - \frac{5\pi}{2} = 7\pi - \frac{5\pi}{2} = \frac{14\pi - 5\pi}{2} = \frac{9\pi}{2} $.

Ответ: $ \frac{9\pi}{2} $