Номер 5.6, страница 38 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

5.6. Найдите наименьший положительный период функции $y=f(x)$:

а) $f(x) = \sin 7x$;

б) $f(x) = \operatorname{tg} \frac{2x}{3}$;

в) $f(x) = \cos \frac{x}{6}$;

г) $f(x) = \operatorname{ctg} 8x$;

д) $f(x) = \sin 0,25x$;

е) $f(x) = \cos 2,5x$.

5.7. Постройте график функции, используя преобразования графиков:

а) Наименьший положительный период (основной период) функции $y = \sin(x)$ равен $T_0 = 2\pi$. Для функции вида $y = A \sin(kx + b)$ наименьший положительный период $T$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. В данном случае имеем функцию $f(x) = \sin(7x)$, где коэффициент $k=7$. Следовательно, период равен $T = \frac{2\pi}{|7|} = \frac{2\pi}{7}$.

Ответ: $T = \frac{2\pi}{7}$.

б) Основной период функции $y = \tan(x)$ равен $T_0 = \pi$. Для функции вида $y = A \tan(kx + b)$ наименьший положительный период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. В функции $f(x) = \tan(\frac{2x}{3})$ коэффициент $k = \frac{2}{3}$. Таким образом, период равен $T = \frac{\pi}{|\frac{2}{3}|} = \frac{\pi}{\frac{2}{3}} = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $T = \frac{3\pi}{2}$.

в) Основной период функции $y = \cos(x)$ равен $T_0 = 2\pi$. Для функции вида $y = A \cos(kx + b)$ наименьший положительный период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. В функции $f(x) = \cos(\frac{x}{6})$ коэффициент $k = \frac{1}{6}$. Таким образом, период равен $T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{6}|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{6}} = 12\pi$.

Ответ: $T = 12\pi$.

г) Основной период функции $y = \cot(x)$ равен $T_0 = \pi$. Для функции вида $y = A \cot(kx + b)$ наименьший положительный период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. В функции $f(x) = \cot(8x)$ коэффициент $k=8$. Таким образом, период равен $T = \frac{\pi}{|8|} = \frac{\pi}{8}$.

Ответ: $T = \frac{\pi}{8}$.

д) Основной период функции $y = \sin(x)$ равен $T_0 = 2\pi$. Для функции $f(x) = \sin(0,25x)$ коэффициент $k = 0,25$, что равно $\frac{1}{4}$. Период вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. Следовательно, $T = \frac{2\pi}{|0,25|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{4}} = 8\pi$.

Ответ: $T = 8\pi$.

е) Основной период функции $y = \cos(x)$ равен $T_0 = 2\pi$. Для функции $f(x) = \cos(2,5x)$ коэффициент $k = 2,5$, что равно $\frac{5}{2}$. Период вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. Следовательно, $T = \frac{2\pi}{|2,5|} = \frac{2\pi}{\frac{5}{2}} = 2\pi \cdot \frac{2}{5} = \frac{4\pi}{5}$.

Ответ: $T = \frac{4\pi}{5}$.