Номер 5.1, страница 38 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

5.1. Выясните четность и нечетность функции:

а) $y = x \cos x;$

б) $y = \frac{\cos 5x + 1}{x};$

В) $y = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1};$

Г) $y = \frac{\operatorname{tg}^2 x}{4 - x^4}.$

а) $y = x \cos x$

Чтобы определить четность функции, необходимо найти $y(-x)$ и сравнить его с $y(x)$.

Обозначим $y(x) = x \cos x$. Область определения функции $D(y)$ — все действительные числа, она симметрична относительно нуля.

Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = (-x) \cos(-x)$

Поскольку функция косинус является четной, $\cos(-x) = \cos x$.

Следовательно, $y(-x) = (-x) \cos x = - (x \cos x) = -y(x)$.

Так как выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

б) $y = \frac{\cos 5x + 1}{x}$

Обозначим $y(x) = \frac{\cos 5x + 1}{x}$.

Область определения функции $D(y)$ — все действительные числа, кроме $x=0$. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{\cos(5(-x)) + 1}{-x} = \frac{\cos(-5x) + 1}{-x}$

Используем свойство четности функции косинус: $\cos(-5x) = \cos(5x)$.

$y(-x) = \frac{\cos 5x + 1}{-x} = - \frac{\cos 5x + 1}{x} = -y(x)$.

Так как выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

в) $y = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1}$

Обозначим $y(x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1}$.

Область определения функции $D(y)$ — все действительные числа, кроме $x = \pm 1$ ($x^2-1 \neq 0$). Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{\sin^2(-x)}{(-x)^2 - 1}$

Используем свойства степеней и тригонометрических функций:

$\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$

$(-x)^2 = x^2$

Подставим эти выражения обратно в формулу для $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1} = y(x)$

Так как выполняется условие $y(-x) = y(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

г) $y = \frac{\tg^2 x}{4 - x^4}$

Обозначим $y(x) = \frac{\tg^2 x}{4 - x^4}$.

Область определения функции $D(y)$ исключает значения $x$, для которых $4 - x^4 = 0$ (то есть $x \neq \pm\sqrt{2}$) и значения, для которых $\tg x$ не определен ($x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число). Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{\tg^2(-x)}{4 - (-x)^4}$

Используем свойства степеней и тригонометрических функций:

$\tg^2(-x) = (\tg(-x))^2 = (-\tg x)^2 = \tg^2 x$

$(-x)^4 = x^4$

Подставим эти выражения обратно в формулу для $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{\tg^2 x}{4 - x^4} = y(x)$

Так как выполняется условие $y(-x) = y(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.