Номер 5.3, страница 38 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

5.3. Постройте график функции $y = f(x)$:

а) $y = 1 + \cos x$;

б) $y = \sin x - 3$;

в) $y = \operatorname{tg} x - 1$;

г) $y = -2 + \operatorname{ctg} x$.

а) График функции $y = 1 + \cos x$ строится на основе графика функции $y = \cos x$ (косинусоиды). Для получения искомого графика необходимо выполнить параллельный перенос графика $y = \cos x$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат $Oy$.Каждая точка графика $y = \cos x$ с координатами $(x, y)$ перемещается в точку с координатами $(x, y+1)$.Основные характеристики:

1. Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: у функции $y = \cos x$ область значений $[-1, 1]$. У функции $y = 1 + \cos x$ область значений будет $[ -1+1; 1+1 ]$, то есть $[0, 2]$.

3. Период функции не изменяется и равен $2\pi$.

4. Ключевые точки: максимум в точке $(0, 1)$ для $y=\cos x$ смещается в точку $(0, 2)$; минимум в точке $(\pi, -1)$ смещается в точку $(\pi, 0)$; нули функции в точках $(\frac{\pi}{2}, 0)$ и $(\frac{3\pi}{2}, 0)$ смещаются в точки $(\frac{\pi}{2}, 1)$ и $(\frac{3\pi}{2}, 1)$.

Ответ: График функции $y = 1 + \cos x$ получается путем сдвига графика функции $y = \cos x$ на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.

б) График функции $y = \sin x - 3$ строится на основе графика функции $y = \sin x$ (синусоиды). Для получения искомого графика необходимо выполнить параллельный перенос графика $y = \sin x$ на 3 единицы вниз вдоль оси ординат $Oy$.Каждая точка графика $y = \sin x$ с координатами $(x, y)$ перемещается в точку с координатами $(x, y-3)$.Основные характеристики:

1. Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: у функции $y = \sin x$ область значений $[-1, 1]$. У функции $y = \sin x - 3$ область значений будет $[ -1-3; 1-3 ]$, то есть $[-4, -2]$.

3. Период функции не изменяется и равен $2\pi$.

4. Ключевые точки: нули функции в точках $(0, 0)$ и $(\pi, 0)$ для $y=\sin x$ смещаются в точки $(0, -3)$ и $(\pi, -3)$; максимум в точке $(\frac{\pi}{2}, 1)$ смещается в точку $(\frac{\pi}{2}, -2)$; минимум в точке $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ смещается в точку $(\frac{3\pi}{2}, -4)$.

Ответ: График функции $y = \sin x - 3$ получается путем сдвига графика функции $y = \sin x$ на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

в) График функции $y = \tg x - 1$ строится на основе графика функции $y = \tg x$ (тангенсоиды). Для получения искомого графика необходимо выполнить параллельный перенос графика $y = \tg x$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат $Oy$.Основные характеристики:

1. Область определения: не изменяется, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Вертикальные асимптоты остаются прежними.

2. Область значений: не изменяется, $y \in (-\infty; +\infty)$.

3. Период функции не изменяется и равен $\pi$.

4. Ключевые точки: точка $(0,0)$ на графике $y = \tg x$ смещается в точку $(0, -1)$. Все точки графика смещаются на 1 единицу вниз.

Ответ: График функции $y = \tg x - 1$ получается путем сдвига графика функции $y = \tg x$ на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$.

г) График функции $y = -2 + \ctg x$ (или $y = \ctg x - 2$) строится на основе графика функции $y = \ctg x$ (котангенсоиды). Для получения искомого графика необходимо выполнить параллельный перенос графика $y = \ctg x$ на 2 единицы вниз вдоль оси ординат $Oy$.Основные характеристики:

1. Область определения: не изменяется, $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Вертикальные асимптоты остаются прежними.

2. Область значений: не изменяется, $y \in (-\infty; +\infty)$.

3. Период функции не изменяется и равен $\pi$.

4. Ключевые точки: точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ на графике $y = \ctg x$ смещается в точку $(\frac{\pi}{2}, -2)$. Все точки графика смещаются на 2 единицы вниз.

Ответ: График функции $y = -2 + \ctg x$ получается путем сдвига графика функции $y = \ctg x$ на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.