Страница 38 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

5.1. Выясните четность и нечетность функции:

а) $y = x \cos x;$

б) $y = \frac{\cos 5x + 1}{x};$

В) $y = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1};$

Г) $y = \frac{\operatorname{tg}^2 x}{4 - x^4}.$

а) $y = x \cos x$

Чтобы определить четность функции, необходимо найти $y(-x)$ и сравнить его с $y(x)$.

Обозначим $y(x) = x \cos x$. Область определения функции $D(y)$ — все действительные числа, она симметрична относительно нуля.

Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = (-x) \cos(-x)$

Поскольку функция косинус является четной, $\cos(-x) = \cos x$.

Следовательно, $y(-x) = (-x) \cos x = - (x \cos x) = -y(x)$.

Так как выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

б) $y = \frac{\cos 5x + 1}{x}$

Обозначим $y(x) = \frac{\cos 5x + 1}{x}$.

Область определения функции $D(y)$ — все действительные числа, кроме $x=0$. Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{\cos(5(-x)) + 1}{-x} = \frac{\cos(-5x) + 1}{-x}$

Используем свойство четности функции косинус: $\cos(-5x) = \cos(5x)$.

$y(-x) = \frac{\cos 5x + 1}{-x} = - \frac{\cos 5x + 1}{x} = -y(x)$.

Так как выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

в) $y = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1}$

Обозначим $y(x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1}$.

Область определения функции $D(y)$ — все действительные числа, кроме $x = \pm 1$ ($x^2-1 \neq 0$). Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{\sin^2(-x)}{(-x)^2 - 1}$

Используем свойства степеней и тригонометрических функций:

$\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x$

$(-x)^2 = x^2$

Подставим эти выражения обратно в формулу для $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{\sin^2 x}{x^2 - 1} = y(x)$

Так как выполняется условие $y(-x) = y(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

г) $y = \frac{\tg^2 x}{4 - x^4}$

Обозначим $y(x) = \frac{\tg^2 x}{4 - x^4}$.

Область определения функции $D(y)$ исключает значения $x$, для которых $4 - x^4 = 0$ (то есть $x \neq \pm\sqrt{2}$) и значения, для которых $\tg x$ не определен ($x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число). Эта область симметрична относительно нуля.

Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{\tg^2(-x)}{4 - (-x)^4}$

Используем свойства степеней и тригонометрических функций:

$\tg^2(-x) = (\tg(-x))^2 = (-\tg x)^2 = \tg^2 x$

$(-x)^4 = x^4$

Подставим эти выражения обратно в формулу для $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{\tg^2 x}{4 - x^4} = y(x)$

Так как выполняется условие $y(-x) = y(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

5.2. Используя простейшие преобразования, постройте график функции $y = \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right)$. Укажите отличие полученного графика от графика функции $y = \sin x$.

Для построения графика функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{3})$ необходимо выполнить простейшее преобразование графика базовой функции $y = \sin x$.

Заданная функция имеет вид $y = f(x+a)$, где $f(x) = \sin x$ и $a = \frac{\pi}{3}$. Преобразование такого вида представляет собой параллельный перенос (сдвиг) графика функции $y = f(x)$ вдоль оси абсцисс (оси Ox).

Правило преобразования гласит:

- если $a > 0$, график сдвигается влево на $a$ единиц;

- если $a < 0$, график сдвигается вправо на $|a|$ единиц.

В нашем случае $a = \frac{\pi}{3}$, что больше нуля, поэтому для получения графика функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{3})$ нужно сдвинуть график функции $y = \sin x$ влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ единиц.

Таким образом, каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y = \sin x$ переместится в точку $(x_0 - \frac{\pi}{3}, y_0)$ на новом графике. Например:

- Начало периода, точка $(0, 0)$, сместится в точку $(-\frac{\pi}{3}, 0)$.

- Точка максимума $(\frac{\pi}{2}, 1)$ сместится в точку $(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}, 1) = (\frac{\pi}{6}, 1)$.

- Точка пересечения с осью Ox $(\pi, 0)$ сместится в точку $(\pi - \frac{\pi}{3}, 0) = (\frac{2\pi}{3}, 0)$.

Отличие полученного графика от графика функции $y=\sin x$ состоит в том, что график функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{3})$ смещен (сдвинут) относительно графика функции $y = \sin x$ влево вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{3}$ радиан. Этот сдвиг называется фазовым сдвигом.

Ответ: График функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{3})$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем параллельного переноса вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ единиц влево.

5.3. Постройте график функции $y = f(x)$:

а) $y = 1 + \cos x$;

б) $y = \sin x - 3$;

в) $y = \operatorname{tg} x - 1$;

г) $y = -2 + \operatorname{ctg} x$.

а) График функции $y = 1 + \cos x$ строится на основе графика функции $y = \cos x$ (косинусоиды). Для получения искомого графика необходимо выполнить параллельный перенос графика $y = \cos x$ на 1 единицу вверх вдоль оси ординат $Oy$.Каждая точка графика $y = \cos x$ с координатами $(x, y)$ перемещается в точку с координатами $(x, y+1)$.Основные характеристики:

1. Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: у функции $y = \cos x$ область значений $[-1, 1]$. У функции $y = 1 + \cos x$ область значений будет $[ -1+1; 1+1 ]$, то есть $[0, 2]$.

3. Период функции не изменяется и равен $2\pi$.

4. Ключевые точки: максимум в точке $(0, 1)$ для $y=\cos x$ смещается в точку $(0, 2)$; минимум в точке $(\pi, -1)$ смещается в точку $(\pi, 0)$; нули функции в точках $(\frac{\pi}{2}, 0)$ и $(\frac{3\pi}{2}, 0)$ смещаются в точки $(\frac{\pi}{2}, 1)$ и $(\frac{3\pi}{2}, 1)$.

Ответ: График функции $y = 1 + \cos x$ получается путем сдвига графика функции $y = \cos x$ на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.

б) График функции $y = \sin x - 3$ строится на основе графика функции $y = \sin x$ (синусоиды). Для получения искомого графика необходимо выполнить параллельный перенос графика $y = \sin x$ на 3 единицы вниз вдоль оси ординат $Oy$.Каждая точка графика $y = \sin x$ с координатами $(x, y)$ перемещается в точку с координатами $(x, y-3)$.Основные характеристики:

1. Область определения: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: у функции $y = \sin x$ область значений $[-1, 1]$. У функции $y = \sin x - 3$ область значений будет $[ -1-3; 1-3 ]$, то есть $[-4, -2]$.

3. Период функции не изменяется и равен $2\pi$.

4. Ключевые точки: нули функции в точках $(0, 0)$ и $(\pi, 0)$ для $y=\sin x$ смещаются в точки $(0, -3)$ и $(\pi, -3)$; максимум в точке $(\frac{\pi}{2}, 1)$ смещается в точку $(\frac{\pi}{2}, -2)$; минимум в точке $(\frac{3\pi}{2}, -1)$ смещается в точку $(\frac{3\pi}{2}, -4)$.

Ответ: График функции $y = \sin x - 3$ получается путем сдвига графика функции $y = \sin x$ на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

в) График функции $y = \tg x - 1$ строится на основе графика функции $y = \tg x$ (тангенсоиды). Для получения искомого графика необходимо выполнить параллельный перенос графика $y = \tg x$ на 1 единицу вниз вдоль оси ординат $Oy$.Основные характеристики:

1. Область определения: не изменяется, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Вертикальные асимптоты остаются прежними.

2. Область значений: не изменяется, $y \in (-\infty; +\infty)$.

3. Период функции не изменяется и равен $\pi$.

4. Ключевые точки: точка $(0,0)$ на графике $y = \tg x$ смещается в точку $(0, -1)$. Все точки графика смещаются на 1 единицу вниз.

Ответ: График функции $y = \tg x - 1$ получается путем сдвига графика функции $y = \tg x$ на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$.

г) График функции $y = -2 + \ctg x$ (или $y = \ctg x - 2$) строится на основе графика функции $y = \ctg x$ (котангенсоиды). Для получения искомого графика необходимо выполнить параллельный перенос графика $y = \ctg x$ на 2 единицы вниз вдоль оси ординат $Oy$.Основные характеристики:

1. Область определения: не изменяется, $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Вертикальные асимптоты остаются прежними.

2. Область значений: не изменяется, $y \in (-\infty; +\infty)$.

3. Период функции не изменяется и равен $\pi$.

4. Ключевые точки: точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ на графике $y = \ctg x$ смещается в точку $(\frac{\pi}{2}, -2)$. Все точки графика смещаются на 2 единицы вниз.

Ответ: График функции $y = -2 + \ctg x$ получается путем сдвига графика функции $y = \ctg x$ на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

5.4. Постройте график функции:

а) $y = \text{tg} \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$;

б) $y = \cos \left(\frac{\pi}{6} + x\right)$.

а) $y = \tan(x - \frac{\pi}{4})$

Для построения графика функции $y = \tan(x - \frac{\pi}{4})$ используется метод преобразования графиков. В качестве основы берется график функции $y = \tan(x)$. График заданной функции получается из графика $y = \tan(x)$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс.

1. Построение базового графика $y = \tan(x)$ (тангенсоиды).

- Область определения функции: все действительные числа $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Прямые $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ являются вертикальными асимптотами графика.

- Период функции равен $\pi$.

- График проходит через начало координат $(0, 0)$ и является нечетной функцией.

- Некоторые контрольные точки для основной ветви: $(-\frac{\pi}{4}, -1)$, $(0, 0)$, $(\frac{\pi}{4}, 1)$.

2. Преобразование графика.

Заданная функция имеет вид $y = f(x - c)$, где $f(x) = \tan(x)$ и $c = \frac{\pi}{4}$. Согласно правилам преобразования графиков, для получения графика $y = \tan(x - \frac{\pi}{4})$ необходимо сдвинуть график функции $y = \tan(x)$ на величину $c = \frac{\pi}{4}$ вправо вдоль оси Ox.

3. Характеристики и построение итогового графика $y = \tan(x - \frac{\pi}{4})$.

- Все точки графика $y = \tan(x)$ смещаются вправо на $\frac{\pi}{4}$.

- Вертикальные асимптоты также смещаются вправо на $\frac{\pi}{4}$. Их новые уравнения: $x = (\frac{\pi}{2} + \pi k) + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Например, асимптоты будут при $x = \dots, -\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}, \dots$

- Нули функции (точки пересечения с осью Ox) смещаются из точек $x = \pi k$ в точки $x = \pi k + \frac{\pi}{4}$. Например, точка $(0,0)$ смещается в точку $(\frac{\pi}{4}, 0)$.

- Контрольные точки также смещаются вправо на $\frac{\pi}{4}$:

• Точка $(-\frac{\pi}{4}, -1)$ переходит в точку $(-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}, -1) = (0, -1)$.
• Точка $(0, 0)$ переходит в точку $(0 + \frac{\pi}{4}, 0) = (\frac{\pi}{4}, 0)$.
• Точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}, 1) = (\frac{\pi}{2}, 1)$.

Ответ: График функции $y = \tan(x - \frac{\pi}{4})$ получается из графика функции $y = \tan(x)$ путем параллельного переноса на $\frac{\pi}{4}$ вправо вдоль оси Ox. Вертикальные асимптоты графика задаются уравнениями $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = \cos(\frac{\pi}{6} + x)$

Для построения графика функции $y = \cos(\frac{\pi}{6} + x)$, которую можно записать как $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$, воспользуемся методом преобразования графиков. Исходной функцией является $y = \cos(x)$.

1. Построение базового графика $y = \cos(x)$ (косинусоиды).

- Область определения: все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

- Область значений: отрезок $[-1, 1]$.

- Период функции равен $2\pi$.

- График является четной функцией, симметричен относительно оси Oy.

- Ключевые точки на одном периоде $[0, 2\pi]$: $(0, 1)$ (максимум), $(\frac{\pi}{2}, 0)$ (ноль), $(\pi, -1)$ (минимум), $(\frac{3\pi}{2}, 0)$ (ноль), $(2\pi, 1)$ (максимум).

2. Преобразование графика.

Заданная функция имеет вид $y = f(x + c)$, где $f(x) = \cos(x)$ и $c = \frac{\pi}{6}$. Согласно правилам преобразования графиков, для получения графика $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$ необходимо сдвинуть график функции $y = \cos(x)$ на величину $c = \frac{\pi}{6}$ влево вдоль оси Ox.

3. Характеристики и построение итогового графика $y = \cos(x + \frac{\pi}{6})$.

- Все точки графика $y = \cos(x)$ смещаются влево на $\frac{\pi}{6}$.

- Период, область определения и область значений не изменяются.

- Ключевые точки смещаются влево на $\frac{\pi}{6}$:

• Точка максимума $(0, 1)$ переходит в точку $(0 - \frac{\pi}{6}, 1) = (-\frac{\pi}{6}, 1)$.
• Ноль функции $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}, 0) = (\frac{3\pi - \pi}{6}, 0) = (\frac{2\pi}{6}, 0) = (\frac{\pi}{3}, 0)$.
• Точка минимума $(\pi, -1)$ переходит в точку $(\pi - \frac{\pi}{6}, -1) = (\frac{5\pi}{6}, -1)$.
• Следующий ноль $(\frac{3\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{6}, 0) = (\frac{9\pi - \pi}{6}, 0) = (\frac{8\pi}{6}, 0) = (\frac{4\pi}{3}, 0)$.

Ответ: График функции $y = \cos(\frac{\pi}{6} + x)$ получается из графика функции $y = \cos(x)$ путем параллельного переноса на $\frac{\pi}{6}$ влево вдоль оси Ox.

5.5. Постройте график функции $y = f(x)$:

a) $y = \sin2x$;

б) $y = \cos3x$;

в) $y = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$;

г) $y = \operatorname{ctg}\frac{x}{3}$;

д) $y = 3 - \sin\frac{x}{2}$;

е) $y = \cos0,5x - 2$.

а) $y = \sin{2x}$

Для построения графика функции $y = \sin{2x}$ воспользуемся преобразованием графика базовой функции $y = \sin{x}$.

1. График функции $y = \sin{x}$ представляет собой синусоиду с периодом $T = 2\pi$ и амплитудой 1. Область значений функции: $E(y) = [-1; 1]$.

2. Функция $y = \sin{2x}$ получается из $y = \sin{x}$ преобразованием $f(x) \rightarrow f(kx)$. В нашем случае $k=2$. Это преобразование соответствует сжатию графика вдоль оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза.

3. Период новой функции $T_1$ вычисляется по формуле $T_1 = \frac{T}{|k|} = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

4. Амплитуда и область значений остаются прежними: амплитуда равна 1, $E(y) = [-1; 1]$.

5. Найдем ключевые точки на одном периоде, например, на отрезке $[0; \pi]$:

- Нули функции: $ \sin{2x} = 0 \implies 2x = n\pi \implies x = \frac{n\pi}{2}, n \in \mathbb{Z} $. На отрезке $[0; \pi]$ это точки $x=0$, $x=\frac{\pi}{2}$, $x=\pi$.

- Максимум ($y=1$): $ \sin{2x} = 1 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + n\pi $. На отрезке $[0; \pi]$ это точка $x=\frac{\pi}{4}$.

- Минимум ($y=-1$): $ \sin{2x} = -1 \implies 2x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi \implies x = -\frac{\pi}{4} + n\pi $. На отрезке $[0; \pi]$ это точка $x=\frac{3\pi}{4}$.

Таким образом, чтобы построить график, нужно взять синусоиду $y=\sin x$ и сжать ее в 2 раза к оси Oy.

Ответ: График функции $y = \sin{2x}$ – это синусоида, полученная из графика $y = \sin{x}$ сжатием в 2 раза вдоль оси Ox. Период функции равен $\pi$, амплитуда 1, область значений $[-1; 1]$.

б) $y = \cos{3x}$

Для построения графика функции $y = \cos{3x}$ выполним преобразование графика базовой функции $y = \cos{x}$.

1. График функции $y = \cos{x}$ – это косинусоида с периодом $T = 2\pi$ и амплитудой 1. Область значений: $E(y) = [-1; 1]$.

2. Функция $y = \cos{3x}$ получается из $y = \cos{x}$ преобразованием $f(x) \rightarrow f(kx)$, где $k=3$. Это соответствует сжатию графика вдоль оси Ox в 3 раза.

3. Период новой функции $T_1 = \frac{T}{|k|} = \frac{2\pi}{3}$.

4. Амплитуда и область значений не изменяются.

5. Ключевые точки на одном периоде $[0; \frac{2\pi}{3}]$:

- Максимумы ($y=1$): $ \cos{3x} = 1 \implies 3x = 2n\pi \implies x = \frac{2n\pi}{3} $. На отрезке это точки $x=0$ и $x=\frac{2\pi}{3}$.

- Минимум ($y=-1$): $ \cos{3x} = -1 \implies 3x = \pi + 2n\pi \implies x = \frac{\pi}{3} + \frac{2n\pi}{3} $. На отрезке это точка $x=\frac{\pi}{3}$.

- Нули функции: $ \cos{3x} = 0 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + n\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{n\pi}{3} $. На отрезке это точки $x=\frac{\pi}{6}$ и $x=\frac{\pi}{2}$.

Следовательно, для построения графика нужно взять косинусоиду $y=\cos x$ и сжать ее в 3 раза к оси Oy.

Ответ: График функции $y = \cos{3x}$ – это косинусоида, полученная из графика $y = \cos{x}$ сжатием в 3 раза вдоль оси Ox. Период функции равен $\frac{2\pi}{3}$, амплитуда 1, область значений $[-1; 1]$.

в) $y = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$

Построение графика функции $y = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ основано на преобразовании графика $y = \operatorname{tg}{x}$.

1. График функции $y = \operatorname{tg}{x}$ (тангенсоида) имеет период $T = \pi$. Вертикальные асимптоты находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + n\pi, n \in \mathbb{Z}$.

2. Функция $y = \operatorname{tg}(\frac{x}{2})$ получается из $y = \operatorname{tg}{x}$ преобразованием $f(x) \rightarrow f(kx)$ с коэффициентом $k = \frac{1}{2}$. Это соответствует растяжению графика вдоль оси Ox в 2 раза.

3. Период новой функции $T_1 = \frac{T}{|k|} = \frac{\pi}{1/2} = 2\pi$.

4. Положение асимптот также изменится. Если для $y=\operatorname{tg}z$ асимптоты были при $z = \frac{\pi}{2} + n\pi$, то для $y = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ они будут при $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi$, откуда $x = \pi + 2n\pi, n \in \mathbb{Z}$.

5. Нули функции: $\operatorname{tg}\frac{x}{2} = 0 \implies \frac{x}{2} = n\pi \implies x = 2n\pi, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ – это тангенсоида, полученная из графика $y = \operatorname{tg}{x}$ растяжением в 2 раза вдоль оси Ox. Период функции равен $2\pi$. Вертикальные асимптоты находятся в точках $x = \pi + 2n\pi, n \in \mathbb{Z}$.

г) $y = \operatorname{ctg}\frac{x}{3}$

График функции $y = \operatorname{ctg}\frac{x}{3}$ строим путем преобразования графика $y = \operatorname{ctg}{x}$.

1. График функции $y = \operatorname{ctg}{x}$ (котангенсоида) имеет период $T = \pi$. Вертикальные асимптоты находятся в точках $x = n\pi, n \in \mathbb{Z}$.

2. Функция $y = \operatorname{ctg}(\frac{x}{3})$ получается из $y = \operatorname{ctg}{x}$ преобразованием $f(x) \rightarrow f(kx)$ с коэффициентом $k = \frac{1}{3}$. Это соответствует растяжению графика вдоль оси Ox в 3 раза.

3. Период новой функции $T_1 = \frac{T}{|k|} = \frac{\pi}{1/3} = 3\pi$.

4. Новые асимптоты: $\frac{x}{3} = n\pi \implies x = 3n\pi, n \in \mathbb{Z}$.

5. Нули функции: $\operatorname{ctg}\frac{x}{3} = 0 \implies \frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + n\pi \implies x = \frac{3\pi}{2} + 3n\pi, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{ctg}\frac{x}{3}$ – это котангенсоида, полученная из графика $y = \operatorname{ctg}{x}$ растяжением в 3 раза вдоль оси Ox. Период функции равен $3\pi$. Вертикальные асимптоты находятся в точках $x = 3n\pi, n \in \mathbb{Z}$.

д) $y = 3 - \sin\frac{x}{2}$

Для построения графика функции $y = 3 - \sin\frac{x}{2}$ выполним последовательность преобразований над графиком $y = \sin x$.

1. $y_1 = \sin\frac{x}{2}$: Растягиваем график $y = \sin x$ вдоль оси Ox в 2 раза. Период становится $T_1 = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

2. $y_2 = -\sin\frac{x}{2}$: Отражаем график $y_1 = \sin\frac{x}{2}$ симметрично относительно оси Ox. Теперь там, где были максимумы, станут минимумы, и наоборот.

3. $y = 3 - \sin\frac{x}{2}$: Сдвигаем график $y_2 = -\sin\frac{x}{2}$ вверх на 3 единицы вдоль оси Oy.

Итоговые свойства графика:

- Период: $T=4\pi$.

- Область значений: Изначально для $y_2$ область значений была $[-1; 1]$. После сдвига на 3 вверх она станет $[ -1+3; 1+3 ] = [2; 4]$.

- Средняя линия графика: $y = 3$.

- Максимальные значения $y=4$ достигаются, когда $-\sin\frac{x}{2}=1 \implies \sin\frac{x}{2}=-1 \implies \frac{x}{2}=-\frac{\pi}{2}+2n\pi \implies x = -\pi + 4n\pi$.

- Минимальные значения $y=2$ достигаются, когда $-\sin\frac{x}{2}=-1 \implies \sin\frac{x}{2}=1 \implies \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+2n\pi \implies x = \pi + 4n\pi$.

Ответ: График функции получается из синусоиды $y = \sin x$ путем ее растяжения в 2 раза вдоль оси Ox, затем симметричного отражения относительно оси Ox и, наконец, сдвига на 3 единицы вверх вдоль оси Oy. Период функции $4\pi$, область значений $[2; 4]$.

е) $y = \cos{0,5x} - 2$

Для построения графика функции $y = \cos{0,5x} - 2$ (или $y = \cos\frac{x}{2} - 2$) преобразуем график $y=\cos x$.

1. $y_1 = \cos\frac{x}{2}$: Растягиваем график $y = \cos x$ вдоль оси Ox в 2 раза (так как коэффициент при $x$ равен $0,5 = 1/2$). Период становится $T_1 = \frac{2\pi}{0,5} = 4\pi$. Амплитуда остается равной 1.

2. $y = \cos\frac{x}{2} - 2$: Сдвигаем график $y_1 = \cos\frac{x}{2}$ вниз на 2 единицы вдоль оси Oy.

Итоговые свойства графика:

- Период: $T=4\pi$.

- Область значений: Изначально для $y_1$ область значений была $[-1; 1]$. После сдвига на 2 вниз она станет $[ -1-2; 1-2 ] = [-3; -1]$.

- Средняя линия графика: $y = -2$.

- Максимальные значения $y=-1$ достигаются, когда $\cos\frac{x}{2}=1 \implies \frac{x}{2}=2n\pi \implies x=4n\pi$.

- Минимальные значения $y=-3$ достигаются, когда $\cos\frac{x}{2}=-1 \implies \frac{x}{2}=\pi+2n\pi \implies x=2\pi+4n\pi$.

Ответ: График функции получается из косинусоиды $y = \cos x$ путем ее растяжения в 2 раза вдоль оси Ox и последующего сдвига на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Период функции $4\pi$, область значений $[-3; -1]$.

5.6. Найдите наименьший положительный период функции $y=f(x)$:

а) $f(x) = \sin 7x$;

б) $f(x) = \operatorname{tg} \frac{2x}{3}$;

в) $f(x) = \cos \frac{x}{6}$;

г) $f(x) = \operatorname{ctg} 8x$;

д) $f(x) = \sin 0,25x$;

е) $f(x) = \cos 2,5x$.

5.7. Постройте график функции, используя преобразования графиков:

а) Наименьший положительный период (основной период) функции $y = \sin(x)$ равен $T_0 = 2\pi$. Для функции вида $y = A \sin(kx + b)$ наименьший положительный период $T$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. В данном случае имеем функцию $f(x) = \sin(7x)$, где коэффициент $k=7$. Следовательно, период равен $T = \frac{2\pi}{|7|} = \frac{2\pi}{7}$.

Ответ: $T = \frac{2\pi}{7}$.

б) Основной период функции $y = \tan(x)$ равен $T_0 = \pi$. Для функции вида $y = A \tan(kx + b)$ наименьший положительный период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. В функции $f(x) = \tan(\frac{2x}{3})$ коэффициент $k = \frac{2}{3}$. Таким образом, период равен $T = \frac{\pi}{|\frac{2}{3}|} = \frac{\pi}{\frac{2}{3}} = \frac{3\pi}{2}$.

Ответ: $T = \frac{3\pi}{2}$.

в) Основной период функции $y = \cos(x)$ равен $T_0 = 2\pi$. Для функции вида $y = A \cos(kx + b)$ наименьший положительный период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. В функции $f(x) = \cos(\frac{x}{6})$ коэффициент $k = \frac{1}{6}$. Таким образом, период равен $T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{6}|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{6}} = 12\pi$.

Ответ: $T = 12\pi$.

г) Основной период функции $y = \cot(x)$ равен $T_0 = \pi$. Для функции вида $y = A \cot(kx + b)$ наименьший положительный период $T$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. В функции $f(x) = \cot(8x)$ коэффициент $k=8$. Таким образом, период равен $T = \frac{\pi}{|8|} = \frac{\pi}{8}$.

Ответ: $T = \frac{\pi}{8}$.

д) Основной период функции $y = \sin(x)$ равен $T_0 = 2\pi$. Для функции $f(x) = \sin(0,25x)$ коэффициент $k = 0,25$, что равно $\frac{1}{4}$. Период вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. Следовательно, $T = \frac{2\pi}{|0,25|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{4}} = 8\pi$.

Ответ: $T = 8\pi$.

е) Основной период функции $y = \cos(x)$ равен $T_0 = 2\pi$. Для функции $f(x) = \cos(2,5x)$ коэффициент $k = 2,5$, что равно $\frac{5}{2}$. Период вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. Следовательно, $T = \frac{2\pi}{|2,5|} = \frac{2\pi}{\frac{5}{2}} = 2\pi \cdot \frac{2}{5} = \frac{4\pi}{5}$.

Ответ: $T = \frac{4\pi}{5}$.

5.7. Постройте график функции, используя простейшие преобразования:

а) $y = \cos\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) + 2$;

б) $y = 2 \sin\left(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}\right) - 1$.

а) $y = \cos(2x - \frac{\pi}{3}) + 2$

Для построения графика данной функции выполним последовательность простейших преобразований, взяв за основу график функции $y_0 = \cos x$.

1. Сначала преобразуем выражение в аргументе косинуса, чтобы явно выделить сдвиг по фазе. Вынесем коэффициент 2 за скобки: $y = \cos(2(x - \frac{\pi}{6})) + 2$.

2. Построение начинаем с графика $y_0 = \cos x$. Это стандартная косинусоида с периодом $T = 2\pi$ и амплитудой $A = 1$.

3. Выполняем сжатие графика $y_0 = \cos x$ вдоль оси абсцисс (оси Ox) в 2 раза. Получаем график функции $y_1 = \cos(2x)$. Период этой функции будет $T_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

4. Сдвигаем полученный график $y_1 = \cos(2x)$ вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$. Получаем график функции $y_2 = \cos(2(x - \frac{\pi}{6}))$.

5. Наконец, сдвигаем график $y_2$ вверх вдоль оси ординат (оси Oy) на 2 единицы. Получаем искомый график функции $y = \cos(2(x - \frac{\pi}{6})) + 2$.

Итоговые характеристики графика: период $T = \pi$, амплитуда $A=1$, фазовый сдвиг на $\frac{\pi}{6}$ вправо, вертикальный сдвиг на 2 вверх. Область значений функции: $[1, 3]$.

Ответ: График функции $y = \cos(2x - \frac{\pi}{3}) + 2$ строится из графика $y = \cos x$ путем следующих преобразований: сжатие к оси Oy в 2 раза (период становится $\pi$), сдвиг по оси Ox на $\frac{\pi}{6}$ вправо и сдвиг по оси Oy на 2 единицы вверх.

б) $y = 2 \sin(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}) - 1$

Для построения графика данной функции выполним последовательность простейших преобразований, взяв за основу график функции $y_0 = \sin x$.

1. Сначала преобразуем исходное выражение. Воспользуемся свойством нечетности синуса $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$: $y = 2 \sin(-(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6})) - 1 = -2 \sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) - 1$.

2. Теперь выделим сдвиг по фазе, вынеся коэффициент $\frac{1}{2}$ за скобки в аргументе синуса: $y = -2 \sin(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3})) - 1$.

3. Построение начинаем с графика $y_0 = \sin x$. Это стандартная синусоида с периодом $T = 2\pi$ и амплитудой $A = 1$.

4. Выполняем растяжение графика $y_0 = \sin x$ от оси ординат (оси Oy) в 2 раза. Получаем график функции $y_1 = \sin(\frac{1}{2}x)$. Период этой функции будет $T_1 = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.

5. Сдвигаем полученный график $y_1 = \sin(\frac{1}{2}x)$ вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$. Получаем график функции $y_2 = \sin(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3}))$.

6. Растягиваем график $y_2$ от оси Ox в 2 раза. Получаем график функции $y_3 = 2 \sin(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3}))$. Амплитуда становится равной 2.

7. Отражаем график $y_3$ симметрично относительно оси Ox. Получаем график функции $y_4 = -2 \sin(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3}))$.

8. Наконец, сдвигаем график $y_4$ вниз вдоль оси Oy на 1 единицу. Получаем искомый график функции $y = -2 \sin(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3})) - 1$.

Итоговые характеристики графика: период $T = 4\pi$, амплитуда $A=2$, фазовый сдвиг на $\frac{\pi}{3}$ вправо, график отражен относительно горизонтальной оси симметрии и сдвинут на 1 вниз. Область значений функции: $[-3, 1]$.

Ответ: График функции $y = 2 \sin(\frac{\pi}{6} - \frac{x}{2}) - 1$ строится из графика $y = \sin x$ путем следующих преобразований: растяжение от оси Oy в 2 раза (период становится $4\pi$), сдвиг по оси Ox на $\frac{\pi}{3}$ вправо, растяжение от оси Ox в 2 раза (амплитуда становится 2), симметричное отражение относительно оси Ox и сдвиг по оси Oy на 1 единицу вниз.