Страница 37 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Имеет ли кривая синусоида монотонно возрастающие или монотонно убывающие промежутки?

2. Почему значение функции $y = \cos x$ не превышает 1?

3. Какие еще свойства показывают числа 1 и -1, кроме того, что являются значениями функции $y = \sin x$?

4. Перечислите свойства функций $y = \cos x$ и $y = \sin x$, показывающие их различие.

5. Почему множество всех действительных чисел не может быть областью определения функций $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \operatorname{ctg} x$?

Да, кривая синусоида, которая является графиком функции $y = \sin(x)$, имеет как промежутки монотонного возрастания, так и промежутки монотонного убывания. Это свойство является следствием ее периодичности.

Функция $y = \sin(x)$ называется возрастающей на промежутке, если большему значению аргумента $x$ из этого промежутка соответствует большее значение функции. Для синуса это промежутки вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). На этих интервалах значение синуса плавно изменяется от -1 до 1.

Функция $y = \sin(x)$ называется убывающей, если большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции. Это происходит на промежутках вида $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$. На этих интервалах значение синуса изменяется от 1 до -1.

Ответ: Да, синусоида имеет чередующиеся промежутки монотонного возрастания и убывания.

Значение функции $y = \cos(x)$ не превышает 1 из-за ее геометрического определения через единичную окружность. Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом, равным 1.

По определению, косинус угла $x$ — это абсцисса (координата по оси $x$) точки на единичной окружности, полученной поворотом точки $(1,0)$ на угол $x$. Любая точка $P(x_p, y_p)$ на единичной окружности удовлетворяет уравнению $x_p^2 + y_p^2 = 1$. Из этого уравнения следует, что $x_p^2 \le 1$, что равносильно неравенству $-1 \le x_p \le 1$.

Так как по определению $\cos(x) = x_p$, то его значение также должно находиться в этих пределах: $-1 \le \cos(x) \le 1$. Следовательно, значение функции $y = \cos(x)$ не может быть больше 1.

Ответ: Значение $\cos(x)$ по определению является абсциссой точки на единичной окружности, а эта координата не может превышать радиус окружности, равный 1.

Для функции $y = \sin(x)$ числа 1 и -1 являются не просто значениями, а фундаментальными характеристиками, определяющими ее поведение.

Во-первых, число 1 является наибольшим (максимальным) значением функции, а число -1 — наименьшим (минимальным) значением. Совокупность всех значений, которые может принимать функция, называется областью значений. Для синуса это отрезок $[-1, 1]$.

Во-вторых, эти значения являются экстремумами функции (точками локального максимума и минимума). Значение 1 достигается в точках максимума $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Значение -1 достигается в точках минимума $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, числа 1 и -1 задают "вершины" и "впадины" синусоиды и определяют ее амплитуду колебаний, которая равна 1.

Ответ: Числа 1 и -1 являются наибольшим и наименьшим значениями функции $y = \sin(x)$ (ее экстремумами) и определяют ее область значений $[-1, 1]$.

Хотя функции $y = \cos(x)$ и $y = \sin(x)$ очень похожи (их графики являются синусоидами, сдвинутыми относительно друг друга), они обладают рядом различных свойств:

1. Четность: $y = \cos(x)$ — четная функция, так как $\cos(-x) = \cos(x)$ для любого $x$. Ее график симметричен относительно оси ординат (OY). В отличие от нее, $y = \sin(x)$ — нечетная функция, так как $\sin(-x) = -\sin(x)$, и ее график симметричен относительно начала координат.

2. Значение в точке x = 0: График косинуса пересекает ось ординат в точке $(0, 1)$, так как $\cos(0) = 1$. График синуса проходит через начало координат $(0, 0)$, так как $\sin(0) = 0$.

3. Нули функции: Функция $y = \sin(x)$ обращается в ноль в точках $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Функция $y = \cos(x)$ обращается в ноль в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Точки экстремумов: Максимальное значение 1 функция $y = \sin(x)$ принимает в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, а функция $y = \cos(x)$ — в точках $x = 2\pi k$. Минимальное значение -1 синус принимает в точках $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, а косинус — в точках $x = \pi + 2\pi k$.

Ответ: Ключевые различия: четность (косинус - четная, синус - нечетная), значение в нуле ($\cos(0)=1$, $\sin(0)=0$), положение нулей и точек экстремумов на оси $x$.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Функции тангенс и котангенс определяются как частное двух других тригонометрических функций:

$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

$\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

В математике операция деления на ноль не определена. Это накладывает ограничения на области определения тангенса и котангенса.

Для функции $y = \tan(x)$ она не определена в тех точках, где ее знаменатель, $\cos(x)$, равен нулю. Это происходит при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Аналогично, для функции $y = \cot(x)$ она не определена там, где ее знаменатель, $\sin(x)$, равен нулю. Это происходит при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Поскольку существуют действительные числа (бесконечное их множество), в которых эти функции не определены, их область определения не может включать все действительные числа. Из множества $\mathbb{R}$ нужно "выколоть" эти точки.

Ответ: Потому что тангенс и котангенс определяются через дроби, знаменатели которых ($\cos(x)$ для тангенса и $\sin(x)$ для котангенса) периодически обращаются в ноль, а на ноль делить нельзя.