Страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9. Найдите значение функции $f(x)=\sqrt{2} \cos4x+\sqrt{2}$ при $x=\frac{\pi}{4}$:

A) $\sqrt{2}$;

B) 0;

C) $2\sqrt{2}$;

D) $-\sqrt{2}$.

Для того чтобы найти значение функции $f(x) = \sqrt{2} \cos(4x) + \sqrt{2}$ при $x = \frac{\pi}{4}$, необходимо подставить данное значение аргумента $x$ в выражение для функции.

1. Подставим $x = \frac{\pi}{4}$ в функцию:

$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \cos\left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right) + \sqrt{2}$

2. Упростим выражение в аргументе косинуса:

$4 \cdot \frac{\pi}{4} = \pi$

3. Теперь выражение для функции принимает вид:

$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \cos(\pi) + \sqrt{2}$

4. Известно, что значение косинуса угла $\pi$ равно -1:

$\cos(\pi) = -1$

5. Подставим это значение в наше выражение:

$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \cdot (-1) + \sqrt{2}$

6. Выполним вычисления:

$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2} + \sqrt{2} = 0$

Таким образом, значение функции в точке $x = \frac{\pi}{4}$ равно 0.

Ответ: 0

10. Каково множество значений функции $y = 7,8 - 5x$:

A) $\mathbb{R}$; B) $\mathbb{Q}$; C) $\mathbb{Z}$; D) $\mathbb{N}$?

Заданная функция $y = 7,8 - 5x$ является линейной. Область определения линейной функции — это множество всех действительных чисел ($x \in R$), если не указано иное.

Чтобы найти множество значений функции, определим, какие значения может принимать $y$. Для этого можно выразить переменную $x$ через $y$:

$y = 7,8 - 5x$

$5x = 7,8 - y$

$x = \frac{7,8 - y}{5}$

Из этого выражения видно, что для любого действительного значения $y$ существует соответствующее действительное значение $x$. Никаких ограничений для $y$ нет. Следовательно, множество значений функции — это множество всех действительных чисел, $R$.

Проанализируем предложенные варианты:

A) R;

Множество всех действительных чисел. Наш анализ показал, что это верный ответ.

B) Q;

Множество рациональных чисел. Неверно, так как $y$ может быть иррациональным. Например, если $x=\sqrt{2}$, то $y = 7,8 - 5\sqrt{2}$.

C) Z;

Множество целых чисел. Неверно, так как $y$ может быть дробным. Например, если $x=0$, то $y=7,8$.

D) N?

Множество натуральных чисел. Неверно, так как $y$ может быть отрицательным, дробным или иррациональным. Например, если $x=2$, то $y = 7,8 - 10 = -2,2$.

Ответ: A) R;

11. Найдите значение выражения $3f(x) - 2g(x)$, если $f(x) = \frac{x+8}{4+x}$, $g(x)=\frac{2}{1-x}$ и $x=0$:

A) 2; B) 2,5; C) 1; D) -2,5.

Для того чтобы найти значение выражения $3f(x) - 2g(x)$, необходимо подставить значение $x=0$ в функции $f(x)$ и $g(x)$, а затем вычислить значение всего выражения.

1. Найдем значение функции $f(x)$ при $x=0$:

$f(x) = \frac{x+8}{4+x}$

$f(0) = \frac{0+8}{4+0} = \frac{8}{4} = 2$.

2. Найдем значение функции $g(x)$ при $x=0$:

$g(x) = \frac{2}{1-x}$

$g(0) = \frac{2}{1-0} = \frac{2}{1} = 2$.

3. Теперь подставим полученные значения $f(0)=2$ и $g(0)=2$ в исходное выражение $3f(x) - 2g(x)$:

$3f(0) - 2g(0) = 3 \cdot 2 - 2 \cdot 2 = 6 - 4 = 2$.

Таким образом, значение выражения равно 2, что соответствует варианту А.

Ответ: 2

12. На каком рисунке изображен график функции $y = (x - 3)^2$:

A) а; B) б; C) в; D) г?

Для того чтобы определить, какой из графиков соответствует функции $y = (x - 3)^2$, проанализируем эту функцию.

1. Это квадратичная функция, её график — парабола.

2. График функции $y = (x - 3)^2$ можно получить из графика стандартной параболы $y = x^2$ путем сдвига.

3. Общее правило преобразования графиков гласит, что график функции $y = f(x - a)$ получается сдвигом графика $y = f(x)$ на $a$ единиц вдоль оси Ox. Если $a > 0$, сдвиг происходит вправо, если $a < 0$ — влево.

4. В нашем случае $f(x) = x^2$ и $a = 3$. Так как $a = 3 > 0$, мы должны сдвинуть график параболы $y = x^2$ на 3 единицы вправо.

5. Вершина параболы $y = x^2$ находится в точке $(0, 0)$. После сдвига на 3 единицы вправо, вершина новой параболы $y = (x - 3)^2$ будет находиться в точке $(0+3, 0)$, то есть в точке $(3, 0)$.

6. Коэффициент перед скобкой в квадрате равен 1 (положительное число), значит, ветви параболы направлены вверх.

Теперь рассмотрим предложенные рисунки:

а) На этом графике изображена парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 3)$. Это неверно.

б) На этом графике изображена парабола с ветвями вверх, но ее вершина находится в точке $(0, -3)$. Это неверно.

в) На этом графике изображена парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(3, 0)$. Это полностью соответствует нашему анализу.

г) На этом графике изображена парабола с ветвями вверх, но ее вершина находится в точке $(-3, 0)$. Этот график соответствует функции $y = (x + 3)^2$. Это неверно.

Таким образом, правильный график изображен на рисунке в.

Ответ: C) в.

13. Найдите область определения функции $y = \frac{\sqrt{x}}{(x+2)(x-5)}$:

A) [0; 2) $\cup$ (2; 5);

B) $(-\infty$; 2) $\cup$ (5; $+\infty$);

C) [0; 5) $\cup$ (5; $+\infty$);

D) [0; $+\infty$].

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для данной функции $y = \frac{\sqrt{x}}{(x+2)(x-5)}$ необходимо учесть два ограничения.

1. Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным. В числителе функции стоит $\sqrt{x}$, поэтому должно выполняться следующее неравенство:$x \ge 0$.Это означает, что $x$ должен принадлежать промежутку $[0; +\infty)$.

2. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как деление на ноль не определено. Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти значения $x$, которые необходимо исключить:$(x+2)(x-5) = 0$.Произведение равно нулю в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю.$x+2 = 0$ или $x-5 = 0$.Решая эти простые уравнения, находим:$x = -2$ или $x = 5$.Следовательно, значения $x=-2$ и $x=5$ не входят в область определения функции.

Теперь необходимо объединить все условия. Область определения функции будет состоять из всех значений $x$, которые удовлетворяют одновременно условиям $x \ge 0$, $x \neq -2$ и $x \neq 5$.Условие $x \ge 0$ уже исключает значение $x = -2$, так как $-2 < 0$.Таким образом, из промежутка $[0; +\infty)$ нам нужно только исключить точку $x=5$.Разбивая промежуток $[0; +\infty)$ точкой 5, мы получаем два интервала: от 0 (включительно) до 5 (не включительно) и от 5 (не включительно) до плюс бесконечности.Итоговая область определения функции в виде объединения промежутков: $[0; 5) \cup (5; +\infty)$.

Ответ: C) $[0; 5) \cup (5; +\infty)$.

14. Укажите нечетную функцию:

А) $y = |x| + x;$

В) $y = |x| + x^2;$

С) $y = x^2|x|;$

D) $y = -x|x|.$

Функция $y = f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Проверим каждую из предложенных функций на соответствие этому определению.

A) $y = |x| + x$

Обозначим $f(x) = |x| + x$. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = |-x| + (-x) = |x| - x$.

Теперь найдем выражение $-f(x)$:

$-f(x) = -(|x| + x) = -|x| - x$.

Поскольку $f(-x) = |x| - x$ не равно $-f(x) = -|x| - x$ для всех $x$ (например, при $x=1$ получаем $f(-1)=0$, а $-f(1)=-2$), функция не является нечетной. Она также не является четной, так как $f(-x) \neq f(x)$.

Ответ: функция не является нечетной.

B) $y = |x| + x^2$

Обозначим $f(x) = |x| + x^2$. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = |-x| + (-x)^2 = |x| + x^2$.

Сравнивая с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$. Это означает, что функция является четной.

Ответ: функция является четной, а не нечетной.

C) $y = x^2|x|$

Обозначим $f(x) = x^2|x|$. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^2|-x| = x^2|x|$.

Сравнивая с исходной функцией, видим, что $f(-x) = f(x)$. Это означает, что функция является четной.

Ответ: функция является четной, а не нечетной.

D) $y = -x|x|$

Обозначим $f(x) = -x|x|$. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = -(-x)|-x| = x|x|$.

Теперь найдем выражение $-f(x)$:

$-f(x) = -(-x|x|) = x|x|$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция удовлетворяет определению нечетной функции.

Ответ: функция является нечетной.

15. Найдите множество значений функции $y = \cos x + 1$:

A) $[-1; 1];$

B) $[0; 1];$

C) $[-2; 0];$

D) $[0; 2].$

Для нахождения множества значений функции $y = \cos x + 1$ необходимо определить, в каких пределах изменяются значения этой функции.

Множество значений для стандартной функции косинуса $f(x) = \cos x$ — это отрезок $[-1; 1]$. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$-1 \le \cos x \le 1$

Заданная функция $y = \cos x + 1$ получается из функции $\cos x$ прибавлением 1. Это означает, что каждое значение функции $\cos x$ увеличивается на 1. Чтобы найти новое множество значений, нужно прибавить 1 к границам исходного отрезка $[-1; 1]$.

Прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-1 + 1 \le \cos x + 1 \le 1 + 1$

После вычисления получаем:

$0 \le \cos x + 1 \le 2$

Заменяя $\cos x + 1$ на $y$, имеем:

$0 \le y \le 2$

Таким образом, множество значений функции $y = \cos x + 1$ есть отрезок $[0; 2]$. Этот результат соответствует варианту D.

Ответ: D) $[0; 2]$.

16. Запишите обратную функцию к функции $y(x) = 2 + x$:

A) $x(y) = 2 - y;$

B) $x(y) = y + 2;$

C) $x(y) = y;$

D) $x(y) = y - 2.$

16. Чтобы найти функцию, обратную к функции $y(x) = 2 + x$, необходимо в уравнении функции выразить переменную $x$ через переменную $y$.

Исходное уравнение: $y = 2 + x$.

Для того чтобы выразить $x$, перенесем 2 в левую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$y - 2 = x$

Теперь поменяем местами левую и правую части для удобства:

$x = y - 2$

Таким образом, обратная функция, выражающая зависимость $x$ от $y$, имеет вид $x(y) = y - 2$.

Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, находим, что он соответствует варианту D.

Ответ: D) $x(y) = y - 2$.

17. На каком рисунке изображен график функции $y = |x + 2|$:

A) a;

B) б;

C) в;

D) г?

a)

б)

в)

г)

Для того чтобы определить, какой из графиков соответствует функции $y = |x + 2|$, проанализируем эту функцию.

График функции $y = |x + 2|$ можно получить из графика базовой функции $y = |x|$ с помощью сдвига по горизонтали. График $y = |x|$ представляет собой V-образную кривую (угол), вершина которой находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх.

Преобразование функции $f(x)$ в $f(x + a)$ означает сдвиг графика $y=f(x)$ вдоль оси Ox на $a$ единиц. Если $a > 0$, сдвиг выполняется влево. В нашем случае $a=2$, значит, график функции $y=|x|$ нужно сдвинуть на 2 единицы влево.

Таким образом, вершина графика функции $y = |x + 2|$ будет находиться в точке $(-2, 0)$. Ветви графика, как и у $y=|x|$, будут направлены вверх, поскольку перед модулем стоит положительный коэффициент (равный 1).

Теперь рассмотрим предложенные рисунки:

а) На этом рисунке изображен график с вершиной в точке $(0, -2)$. Это график функции $y = |x| - 2$.

б) На этом рисунке изображен график с вершиной в точке $(-2, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Это в точности соответствует искомому графику функции $y = |x + 2|$. Для проверки можно взять контрольную точку, например, $x=0$. Тогда $y = |0 + 2| = 2$. График на рисунке б) проходит через точку $(0, 2)$.

в) На этом рисунке изображен график с вершиной в точке $(0, -2)$, но его ветви направлены вниз. Это график функции $y = -|x| - 2$.

г) На этом рисунке изображен график с вершиной в точке $(0, 2)$ и ветвями, направленными вниз. Это график функции $y = -|x| + 2$.

Из анализа следует, что правильным является график, изображенный на рисунке б). Этот рисунок соответствует варианту ответа B.

Ответ: B) б;