Страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

4. Какая из функций является четной:

A) $y = 2\cos x$;

B) $y = 1,5\sin x$;

C) $y = x$;

D) $y = \operatorname{tg} x$?

Функция $y = f(x)$ называется четной, если для любого значения $x$ из ее области определения выполняется два условия:

1. Область определения функции симметрична относительно начала координат (то есть если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже принадлежит).

2. Выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Проверим каждую из предложенных функций на соответствие этому определению.

A) $y = 2\cos x$

Область определения функции $y = 2\cos x$ — все действительные числа ($x \in R$), она симметрична относительно нуля. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $y(-x) = 2\cos(-x)$.

Так как функция косинус является четной, то есть $\cos(-x) = \cos x$, получаем:

$y(-x) = 2\cos x = y(x)$.

Оба условия выполняются, следовательно, функция $y = 2\cos x$ является четной.

B) $y = 1,5\sin x$

Область определения функции $y = 1,5\sin x$ — все действительные числа ($x \in R$), она симметрична относительно нуля. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $y(-x) = 1,5\sin(-x)$.

Так как функция синус является нечетной, то есть $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$y(-x) = 1,5(-\sin x) = -1,5\sin x = -y(x)$.

Поскольку $y(-x) = -y(x)$, а не $y(x)$, эта функция является нечетной, а не четной.

C) $y = x$

Область определения функции $y = x$ — все действительные числа ($x \in R$), она симметрична относительно нуля. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $y(-x) = -x$.

Так как $y(x) = x$, то $y(-x) = -y(x)$.

Эта функция является нечетной.

D) $y = \tg x$

Область определения функции $y = \tg x$ — все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число. Эта область определения симметрична относительно нуля. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $y(-x) = \tg(-x)$.

Так как функция тангенс является нечетной, то есть $\tg(-x) = -\tg x$, получаем:

$y(-x) = -\tg x = -y(x)$.

Эта функция является нечетной.

Таким образом, единственная четная функция среди предложенных вариантов — это $y=2\cos x$.

Ответ: A.

5. На рисунке изображен график функ-ции $y = f(x)$. Укажите промежутки возрастания этой функции:

A) $[a; b]$ и $[c; +\infty];$

B) $(-\infty a]$ и $[b; +\infty];$

C) $(-\infty a];$

D) $[a; b].$

Промежутком возрастания функции называется такой интервал, на котором большему значению аргумента ($x$) соответствует большее значение функции ($y$). Визуально на графике это те участки, где линия идет вверх при движении слева направо.

Проанализируем данный график функции $y = f(x)$:

- На интервале $(-\infty; a]$ график функции идет вниз, следовательно, функция убывает.

- На интервале $[a; b]$ график функции идет вверх. Это первый промежуток возрастания.

- На интервале $[b; c]$ график представляет собой горизонтальную линию. На этом участке функция постоянна, то есть не возрастает и не убывает.

- На интервале $[c; +\infty)$ график снова идет вверх. Это второй промежуток возрастания.

Таким образом, функция возрастает на двух промежутках: $[a; b]$ и $[c; +\infty)$. Этот результат соответствует варианту ответа А.

Ответ: А) $[a; b]$ и $[c; +\infty)$

6. Используя рисунок задания 5, найдите промежутки убывания функции:

A) $[a; b]$ и $[c; +\infty);$

B) $(-\infty a]$ и $[b; +\infty);$

C) $(-\infty a];$

D) $[a; b].$

Для нахождения промежутков убывания функции по её графику необходимо определить, на каких интервалах оси абсцисс (оси $Ox$) график "идёт вниз" при движении слева направо. Функция называется убывающей на некотором промежутке, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$. Точки, в которых функция меняет характер монотонности (с возрастания на убывание или наоборот), называются точками экстремума. Точки, где возрастание сменяется убыванием, являются точками локального максимума (пиками), а точки, где убывание сменяется возрастанием, — точками локального минимума (впадинами). Промежутки убывания функции находятся на участках графика, где он направлен вниз.

В условии задачи указано, что необходимо использовать рисунок из задания 5, который отсутствует. Однако, мы можем проанализировать предложенные варианты ответа и сделать логичное предположение о виде графика. В вариантах ответов в качестве границ промежутков используются точки $a$, $b$ и $c$, которые, вероятнее всего, являются абсциссами точек экстремумов функции.

Рассмотрим наиболее типичный для подобных задач случай, который описывается вариантом ответа B). Этот вариант предполагает, что у функции есть два промежутка убывания: $(-\infty; a]$ и $[b; +\infty)$.

Такая ситуация возникает, если на графике функции есть два экстремума:

• В точке с абсциссой $x=a$ находится точка локального минимума. Это означает, что до этой точки (на промежутке $(-\infty; a]$) функция убывала.
• В точке с абсциссой $x=b$ находится точка локального максимума. Это означает, что после этой точки (на промежутке $[b; +\infty)$) функция также убывает.

На основании этого анализа, наиболее вероятным ответом является вариант B.

Ответ: B) $(-\infty; a]$ и $[b; +\infty)$.

7. Найдите область определения функции $f(x) = \frac{x + 10}{(x + 4)(x + 1)}$:

A) $x \ne 4$;

C) $x \ne 1$;

B) $x \ne 1, x \ne -4$;

D) $x \ne -4, x \ne -1$.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена (имеет смысл).

Дана функция $f(x) = \frac{x + 10}{(x + 4)(x + 1)}$. Эта функция является дробно-рациональной. Единственное ограничение для таких функций заключается в том, что знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Чтобы найти область определения, необходимо найти значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, и исключить их из множества всех действительных чисел.

Приравняем знаменатель к нулю:

$(x + 4)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

$x + 4 = 0$ или $x + 1 = 0$

Решая эти простые уравнения, получаем:

$x_1 = -4$

$x_2 = -1$

Таким образом, значения $x = -4$ и $x = -1$ являются недопустимыми для данной функции, так как при этих значениях знаменатель становится равным нулю.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $-4$ и $-1$. Это можно записать как $x \neq -4$ и $x \neq -1$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами ответов, мы видим, что правильным является вариант D.

Ответ: D) $x \neq -4, x \neq -1$.

8. Укажите нечетную функцию:

A) $y = -\sin^2x;$

B) $y = \sin x;$

C) $y = \cos x;$

D) $y = \cos^2x.$

Функция $y=f(x)$ называется нечетной, если для любого значения $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Проверим каждую из предложенных функций на соответствие этому определению.

A) $y = -\sin^2{x}$

Пусть $f(x) = -\sin^2{x}$. Найдем $f(-x)$.

$f(-x) = -\sin^2(-x) = -(\sin(-x))^2$.

Используем свойство нечетности функции синус: $\sin(-x) = -\sin(x)$.

$f(-x) = -(-\sin(x))^2 = -(\sin^2{x}) = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, данная функция является четной.

B) $y = \sin{x}$

Пусть $f(x) = \sin{x}$. Найдем $f(-x)$.

$f(-x) = \sin(-x)$.

Согласно свойству нечетности функции синус: $\sin(-x) = -\sin(x)$.

Таким образом, $f(-x) = -\sin(x) = -f(x)$.

Поскольку $f(-x) = -f(x)$, данная функция является нечетной.

C) $y = \cos{x}$

Пусть $f(x) = \cos{x}$. Найдем $f(-x)$.

$f(-x) = \cos(-x)$.

Используем свойство четности функции косинус: $\cos(-x) = \cos(x)$.

Таким образом, $f(-x) = \cos(x) = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, данная функция является четной.

D) $y = \cos^2{x}$

Пусть $f(x) = \cos^2{x}$. Найдем $f(-x)$.

$f(-x) = \cos^2(-x) = (\cos(-x))^2$.

Согласно свойству четности функции косинус: $\cos(-x) = \cos(x)$.

$f(-x) = (\cos(x))^2 = \cos^2{x} = f(x)$.

Поскольку $f(-x) = f(x)$, данная функция является четной.

По результатам проверки единственной нечетной функцией из предложенных является $y = \sin{x}$.

Ответ: B.