Номер 4, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

4. Какая из функций является четной:

A) $y = 2\cos x$;

B) $y = 1,5\sin x$;

C) $y = x$;

D) $y = \operatorname{tg} x$?

Функция $y = f(x)$ называется четной, если для любого значения $x$ из ее области определения выполняется два условия:

1. Область определения функции симметрична относительно начала координат (то есть если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже принадлежит).

2. Выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Проверим каждую из предложенных функций на соответствие этому определению.

A) $y = 2\cos x$

Область определения функции $y = 2\cos x$ — все действительные числа ($x \in R$), она симметрична относительно нуля. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $y(-x) = 2\cos(-x)$.

Так как функция косинус является четной, то есть $\cos(-x) = \cos x$, получаем:

$y(-x) = 2\cos x = y(x)$.

Оба условия выполняются, следовательно, функция $y = 2\cos x$ является четной.

B) $y = 1,5\sin x$

Область определения функции $y = 1,5\sin x$ — все действительные числа ($x \in R$), она симметрична относительно нуля. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $y(-x) = 1,5\sin(-x)$.

Так как функция синус является нечетной, то есть $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$y(-x) = 1,5(-\sin x) = -1,5\sin x = -y(x)$.

Поскольку $y(-x) = -y(x)$, а не $y(x)$, эта функция является нечетной, а не четной.

C) $y = x$

Область определения функции $y = x$ — все действительные числа ($x \in R$), она симметрична относительно нуля. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $y(-x) = -x$.

Так как $y(x) = x$, то $y(-x) = -y(x)$.

Эта функция является нечетной.

D) $y = \tg x$

Область определения функции $y = \tg x$ — все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — целое число. Эта область определения симметрична относительно нуля. Найдем значение функции для аргумента $-x$: $y(-x) = \tg(-x)$.

Так как функция тангенс является нечетной, то есть $\tg(-x) = -\tg x$, получаем:

$y(-x) = -\tg x = -y(x)$.

Эта функция является нечетной.

Таким образом, единственная четная функция среди предложенных вариантов — это $y=2\cos x$.

Ответ: A.