Номер 3, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3. Какая из кривых, изображенных на рисунке, не является графиком функции:

A) а;

B) б;

C) в;

D) г?

Согласно определению, функция — это такая зависимость переменной $y$ от переменной $x$, при которой каждому значению аргумента $x$ из области определения соответствует единственное значение функции $y$.

Для того чтобы графически определить, является ли кривая графиком функции, можно применить так называемый "тест с вертикальной линией". Суть теста заключается в следующем: если любая вертикальная прямая (параллельная оси $Oy$) пересекает график не более чем в одной точке, то этот график задает функцию. Если же можно провести хотя бы одну вертикальную прямую, которая пересекает график в двух или более точках, то данная кривая не является графиком функции.

Рассмотрим каждую кривую, изображенную на рисунке:

а) Эта кривая проходит тест с вертикальной линией. Любая прямая, параллельная оси $Oy$, пересекает ее только в одной точке. Следовательно, это график функции.

б) Эта кривая также проходит тест с вертикальной линией. Любая вертикальная прямая пересекает ее не более чем в одной точке. Это график функции (конкретно, функции вида $y=k|x|$).

в) Эта кривая представляет собой окружность с центром в начале координат. Если провести вертикальную прямую, например, саму ось $Oy$ (уравнение которой $x=0$), то она пересечет окружность в двух точках (в верхней и нижней). Это означает, что одному значению $x$ соответствует два разных значения $y$. Уравнение этой окружности $x^2 + y^2 = R^2$, где $R$ — радиус. Выражая $y$, получаем $y = \pm\sqrt{R^2 - x^2}$, что подтверждает наличие двух значений $y$ для одного значения $x$ (при $-R < x < R$). Следовательно, эта кривая не является графиком функции.

г) Эта кривая проходит тест с вертикальной линией. Любая вертикальная прямая пересекает ее не более чем в одной точке. Это график функции (например, функции квадратного корня $y=k\sqrt{x}$ при $x \ge 0$).

Таким образом, единственная кривая, которая не является графиком функции, — это окружность на рисунке в). Соответствующий вариант ответа — C.

Ответ: C) в.