Страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Всякой ли функции можно найти обратную функцию? Ответ объясните.

2. Являются ли сложными функции: $y = x^2$, $y = (3x + 5)^2$?

1. Нет, не для всякой функции можно найти обратную. Обратная функция существует только для так называемых обратимых функций. Функция является обратимой, если она устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами своей области определения и области значений. Это означает, что каждому значению аргумента $x$ соответствует единственное значение функции $y$, и, наоборот, каждому значению функции $y$ соответствует единственное значение аргумента $x$.

Основным достаточным условием обратимости для непрерывной функции является строгая монотонность. То есть, если функция на всей своей области определения является строго возрастающей или строго убывающей, то она обратима.

Рассмотрим контрпример. Функция $y = x^2$ задана на всей числовой оси $x \in (-\infty; +\infty)$. Она не является строго монотонной на этой области. Например, одному и тому же значению $y=9$ соответствуют два разных значения аргумента: $x=3$ и $x=-3$. Из-за этой неоднозначности невозможно построить обратную функцию на всей области определения. Однако, если мы сузим область определения, например, до промежутка $[0; +\infty)$, то на этом промежутке функция $y=x^2$ будет строго возрастать, и для нее будет существовать обратная функция $y = \sqrt{x}$.

Ответ: Нет, обратную функцию можно найти не для всякой функции, а только для обратимой (взаимно однозначной). Примером функции, для которой нельзя найти обратную на всей области определения, является $y=x^2$.

2. Сложная функция (или композиция функций) — это функция, аргументом которой, в свою очередь, является другая функция. Общий вид сложной функции: $y = f(g(x))$, где $g(x)$ — это внутренняя функция, а $f(u)$ — внешняя функция.

Проанализируем данные функции:

Функция $y = x^2$. Это основная элементарная степенная функция. Она не является результатом композиции других, более простых элементарных функций (за исключением тривиального случая, где внутренняя функция — тождественная, $g(x)=x$). Поэтому в стандартной классификации она не считается сложной.

Функция $y = (3x + 5)^2$. Эта функция является сложной. Чтобы вычислить ее значение, нужно сначала выполнить действие, заданное внутренней функцией (найти значение выражения $3x+5$), а затем к результату применить внешнюю функцию (возвести в квадрат).

Здесь можно выделить:

• внутреннюю функцию $u = g(x) = 3x + 5$;

• внешнюю функцию $y = f(u) = u^2$.

Тогда исходная функция является их композицией: $y = f(g(x)) = (3x+5)^2$.

Ответ: Функция $y = x^2$ не является сложной (это основная элементарная функция), а функция $y = (3x+5)^2$ является сложной.

4.1. Найдите обратную функцию к функции:

а) $y = 7x + 2;$

б) $y = \frac{2x}{3};$

в) $y = 5 - x.$

а)Чтобы найти функцию, обратную к $y = 7x + 2$, нужно выразить переменную $x$ через $y$ из данного уравнения, а затем поменять переменные $x$ и $y$ местами.

1. Выразим $x$ из уравнения $y = 7x + 2$:

$7x = y - 2$

$x = \frac{y - 2}{7}$

2. Заменим $x$ на $y$ и $y$ на $x$, чтобы получить обратную функцию в стандартной форме:

$y = \frac{x - 2}{7}$

Это и есть искомая обратная функция.

Ответ: $y = \frac{x-2}{7}$.

б)Дана функция $y = \frac{2x}{3}$.

1. Выразим $x$ через $y$ из этого уравнения:

$3y = 2x$

$x = \frac{3y}{2}$

2. Произведем замену переменных ($x \leftrightarrow y$):

$y = \frac{3x}{2}$

Это обратная функция.

Ответ: $y = \frac{3x}{2}$.

в)Дана функция $y = 5 - x$.

1. Выразим $x$ через $y$:

Перенесем $x$ в левую часть, а $y$ в правую:

$x = 5 - y$

2. Поменяем переменные $x$ и $y$ местами:

$y = 5 - x$

В данном случае обратная функция совпадает с исходной функцией. Такие функции называются самообратными.

Ответ: $y = 5 - x$.

4.2. Назовите функции $f$ и $g$, составляющие функцию $y=f(g(x))$, если:

а) $y=(x+1)^2$;

б) $y=\sqrt{2x}$.

а) Чтобы представить функцию $y = (x + 1)^2$ в виде сложной функции $y = f(g(x))$, необходимо определить внутреннюю функцию $g(x)$ и внешнюю функцию $f(u)$.

Сложная функция вычисляется в два шага: сначала к аргументу $x$ применяется внутренняя функция $g$, а затем к результату $g(x)$ применяется внешняя функция $f$.

В выражении $(x + 1)^2$ сначала выполняется действие в скобках (прибавление 1), а затем результат возводится в квадрат. Поэтому логично выбрать в качестве внутренней функции выражение в скобках.

Пусть внутренняя функция $g(x) = x + 1$.

Тогда исходная функция примет вид $y = (g(x))^2$. Отсюда видно, что внешняя функция $f$ берет свой аргумент (которым является $g(x)$) и возводит его в квадрат. Обозначив аргумент внешней функции через $u$, получим $f(u) = u^2$.

Проверим правильность разложения: $f(g(x)) = f(x+1) = (x+1)^2$. Полученное выражение совпадает с исходной функцией.

Ответ: $g(x) = x + 1$, $f(u) = u^2$.

б) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{2x}$ и представим её в виде $y = f(g(x))$.

При вычислении значения этой функции для заданного $x$, сначала выполняется умножение $x$ на 2, а затем из полученного произведения $2x$ извлекается квадратный корень. Это подсказывает, как выбрать внутреннюю и внешнюю функции.

Пусть внутренняя функция $g(x)$ будет подкоренным выражением: $g(x) = 2x$.

Тогда исходная функция запишется как $y = \sqrt{g(x)}$. Внешняя функция $f$ применяет операцию извлечения квадратного корня к своему аргументу. Если её аргумент обозначить как $u$, то $f(u) = \sqrt{u}$.

Выполним проверку: $f(g(x)) = f(2x) = \sqrt{2x}$. Это соответствует исходной функции.

Ответ: $g(x) = 2x$, $f(u) = \sqrt{u}$.

4.3. При каких значениях переменной $x$ функции $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$ являются взаимно-обратными?

Для того чтобы две функции были взаимно-обратными, необходимо, чтобы композиция этих функций в любом порядке давала тождественную функцию ($f(g(x))=x$ и $g(f(x))=x$), а также чтобы исходная функция была обратимой (монотонной) на рассматриваемом промежутке.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2$. Эта функция определена на всей числовой оси ($x \in \mathbb{R}$), но она не является монотонной на всей этой оси. Она убывает при $x \le 0$ и возрастает при $x \ge 0$. Чтобы найти для нее обратную функцию, необходимо ограничить ее область определения таким образом, чтобы на новом промежутке она была монотонной.

Рассмотрим вторую функцию $g(x) = \sqrt{x}$. Ее область определения — это множество неотрицательных чисел, то есть $x \ge 0$. На этом промежутке функция $g(x)$ монотонно возрастает, следовательно, она является обратимой.

Найдем функцию, обратную для $y = x^2$. Для этого сначала выразим $x$ через $y$:

$y = x^2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{y}$

Затем, по определению обратной функции, меняем переменные $x$ и $y$ местами. Получаем $y = \pm\sqrt{x}$.

Выбор знака перед корнем зависит от того, на каком промежутке монотонности мы рассматриваем исходную функцию $y = x^2$.

1. Если мы рассматриваем $y = x^2$ при $x \ge 0$, то ее область значений $y \ge 0$. У обратной функции область определения и область значений меняются местами. Значит, для обратной функции область определения $x \ge 0$ и область значений $y \ge 0$. Этому соответствует функция $y = \sqrt{x}$.

2. Если мы рассматриваем $y = x^2$ при $x \le 0$, то ее область значений $y \ge 0$. У обратной функции область определения $x \ge 0$ и область значений $y \le 0$. Этому соответствует функция $y = -\sqrt{x}$.

По условию задачи, нам дана пара функций $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$. Они могут быть взаимно-обратными только в том случае, если мы рассматриваем функцию $y = x^2$ на промежутке $x \ge 0$. На этом же промежутке определена и функция $y = \sqrt{x}$.

Таким образом, функции $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$ являются взаимно-обратными на общей области определения, где это взаимное соответствие выполняется, то есть при $x \ge 0$.

Проверка:

Пусть $f(x) = x^2$, где $x \ge 0$, и $g(x) = \sqrt{x}$, где $x \ge 0$.

$f(g(x)) = (\sqrt{x})^2 = x$. Равенство верно для всех $x$ из области определения $g(x)$, т.е. для $x \ge 0$.

$g(f(x)) = \sqrt{x^2} = |x|$. Так как область определения $f(x)$ ограничена $x \ge 0$, то $|x| = x$. Равенство $g(f(x)) = x$ верно для всех $x \ge 0$.

Ответ: Функции $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$ являются взаимно-обратными при $x \ge 0$.

4.4. Составьте все возможные сложные функции из функций $y = 2x$, $y = x^2$, $y = \frac{1}{x}$.

Для того чтобы составить все возможные сложные функции из данных, введем для удобства следующие обозначения для исходных функций:

$f(x) = 2x$

$g(x) = x^2$

$h(x) = \frac{1}{x}$

Сложная функция, или композиция функций, образуется, когда одна функция (называемая внутренней) подставляется в качестве аргумента в другую функцию (называемую внешней). Например, в композиции $y = f(g(x))$, функция $g(x)$ является внутренней, а $f(x)$ — внешней. Мы должны рассмотреть все возможные комбинации пар функций, включая случай, когда функция составляется сама с собой. Всего таких комбинаций 9.

Композиция $y = f(f(x))$

Здесь функция $f(x)$ является и внешней, и внутренней. Подставляем выражение для $f(x)$ в нее же:

$y = f(f(x)) = f(2x) = 2(2x) = 4x$

Ответ: $y = 4x$

Композиция $y = f(g(x))$

Здесь внешняя функция — $f(x)$, а внутренняя — $g(x)$. Подставляем $g(x)$ в $f(x)$:

$y = f(g(x)) = f(x^2) = 2(x^2) = 2x^2$

Ответ: $y = 2x^2$

Композиция $y = f(h(x))$

Здесь внешняя функция — $f(x)$, а внутренняя — $h(x)$. Подставляем $h(x)$ в $f(x)$:

$y = f(h(x)) = f\left(\frac{1}{x}\right) = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$

Ответ: $y = \frac{2}{x}$

Композиция $y = g(f(x))$

Здесь внешняя функция — $g(x)$, а внутренняя — $f(x)$. Подставляем $f(x)$ в $g(x)$:

$y = g(f(x)) = g(2x) = (2x)^2 = 4x^2$

Ответ: $y = 4x^2$

Композиция $y = g(g(x))$

Здесь функция $g(x)$ является и внешней, и внутренней. Подставляем $g(x)$ в нее же:

$y = g(g(x)) = g(x^2) = (x^2)^2 = x^4$

Ответ: $y = x^4$

Композиция $y = g(h(x))$

Здесь внешняя функция — $g(x)$, а внутренняя — $h(x)$. Подставляем $h(x)$ в $g(x)$:

$y = g(h(x)) = g\left(\frac{1}{x}\right) = \left(\frac{1}{x}\right)^2 = \frac{1}{x^2}$

Ответ: $y = \frac{1}{x^2}$

Композиция $y = h(f(x))$

Здесь внешняя функция — $h(x)$, а внутренняя — $f(x)$. Подставляем $f(x)$ в $h(x)$:

$y = h(f(x)) = h(2x) = \frac{1}{2x}$

Ответ: $y = \frac{1}{2x}$

Композиция $y = h(g(x))$

Здесь внешняя функция — $h(x)$, а внутренняя — $g(x)$. Подставляем $g(x)$ в $h(x)$:

$y = h(g(x)) = h(x^2) = \frac{1}{x^2}$

Ответ: $y = \frac{1}{x^2}$

Композиция $y = h(h(x))$

Здесь функция $h(x)$ является и внешней, и внутренней. Подставляем $h(x)$ в нее же:

$y = h(h(x)) = h\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x$

Ответ: $y = x$

4.5. Найдите обратную функцию следующей функции при $x \ge 0$:

а) $y = 2x + 3$;

б) $y = -6x + 9$ и постройте их графики.

а)

Дана функция $y = 2x + 3$ с ограничением на область определения $x \ge 0$.

1. Нахождение обратной функции.

Чтобы найти обратную функцию, необходимо выразить $x$ через $y$:

$y = 2x + 3$

$y - 3 = 2x$

$x = \frac{y - 3}{2}$

Теперь поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить функцию в стандартном виде. Обратная функция:

$y = \frac{x - 3}{2}$ или $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$.

2. Определение области определения и области значений.

Для исходной функции $y = 2x + 3$:

Область определения задана условием: $D(y) = [0, +\infty)$.

Найдем область значений. Так как $x \ge 0$, то $2x \ge 0$, и $2x + 3 \ge 3$. Следовательно, область значений $E(y) = [3, +\infty)$.

Для обратной функции $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$:

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной: $D(y) = [3, +\infty)$.

Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной: $E(y) = [0, +\infty)$.

3. Построение графиков.

Графиком функции $y = 2x + 3$ является прямая. С учетом ограничения $x \ge 0$ это будет луч. Найдем две точки:

- при $x=0$, $y=2(0)+3=3$. Начальная точка луча: $(0, 3)$.

- при $x=2$, $y=2(2)+3=7$. Точка на луче: $(2, 7)$.

Графиком обратной функции $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ также является луч с областью определения $x \ge 3$. Найдем две точки:

- при $x=3$, $y=\frac{1}{2}(3) - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0$. Начальная точка луча: $(3, 0)$.

- при $x=7$, $y=\frac{1}{2}(7) - \frac{3}{2} = \frac{7}{2} - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Точка на луче: $(7, 2)$.

Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ при $x \ge 3$.

б)

Дана функция $y = -6x + 9$ с ограничением на область определения $x \ge 0$.

1. Нахождение обратной функции.

Выразим $x$ через $y$:

$y = -6x + 9$

$6x = 9 - y$

$x = \frac{9 - y}{6}$

Меняем местами $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию:

$y = \frac{9 - x}{6}$ или $y = -\frac{1}{6}x + \frac{3}{2}$.

2. Определение области определения и области значений.

Для исходной функции $y = -6x + 9$:

Область определения задана условием: $D(y) = [0, +\infty)$.

Найдем область значений. Так как $x \ge 0$, то $-6x \le 0$, и $-6x + 9 \le 9$. Следовательно, область значений $E(y) = (-\infty, 9]$.

Для обратной функции $y = -\frac{1}{6}x + \frac{3}{2}$:

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной: $D(y) = (-\infty, 9]$.

Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной: $E(y) = [0, +\infty)$.

3. Построение графиков.

Графиком функции $y = -6x + 9$ при $x \ge 0$ является луч. Найдем две точки:

- при $x=0$, $y=-6(0)+9=9$. Начальная точка луча: $(0, 9)$.

- при $x=1.5$, $y=-6(1.5)+9=0$. Точка пересечения с осью Ox: $(1.5, 0)$.

Графиком обратной функции $y = -\frac{1}{6}x + \frac{3}{2}$ является луч с областью определения $x \le 9$. Найдем две точки:

- при $x=9$, $y=-\frac{1}{6}(9) + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 0$. Конечная точка луча: $(9, 0)$.

- при $x=0$, $y=-\frac{1}{6}(0) + \frac{3}{2} = 1.5$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 1.5)$.

Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция $y = -\frac{1}{6}x + \frac{3}{2}$ при $x \le 9$.

4.6. Составьте сложные функции, если $f(x) = \frac{2}{x^3}$; $g(x) = 3x - 5$.

Для заданных функций $f(x) = \frac{2}{x^3}$ и $g(x) = 3x - 5$ можно составить две сложные функции (композиции): $f(g(x))$ и $g(f(x))$.

1. Нахождение сложной функции $f(g(x))$

Чтобы найти композицию $f(g(x))$, нужно подставить выражение для функции $g(x)$ вместо переменной $x$ в функцию $f(x)$.

Внешняя функция — $f(x)$, внутренняя — $g(x) = 3x - 5$.

Заменяем $x$ в выражении для $f(x)$ на $3x-5$:

$f(g(x)) = f(3x-5) = \frac{2}{(3x-5)^3}$

Ответ: $f(g(x)) = \frac{2}{(3x-5)^3}$.

2. Нахождение сложной функции $g(f(x))$

Чтобы найти композицию $g(f(x))$, нужно подставить выражение для функции $f(x)$ вместо переменной $x$ в функцию $g(x)$.

Внешняя функция — $g(x)$, внутренняя — $f(x) = \frac{2}{x^3}$.

Заменяем $x$ в выражении для $g(x)$ на $\frac{2}{x^3}$:

$g(f(x)) = g\left(\frac{2}{x^3}\right) = 3 \cdot \left(\frac{2}{x^3}\right) - 5$

Упростим полученное выражение:

$g(f(x)) = \frac{6}{x^3} - 5$

Ответ: $g(f(x)) = \frac{6}{x^3} - 5$.

4.7. Составьте обратную функцию к функции $g(x) = 3x^2 - 2$ при $x \ge 0$.

Для нахождения обратной функции к функции $g(x) = 3x^2 - 2$ при условии $x \ge 0$, сначала заменим $g(x)$ на $y$:

$y = 3x^2 - 2$

Теперь наша задача — выразить $x$ через $y$.

1. Прибавим 2 к обеим частям уравнения:

$y + 2 = 3x^2$

2. Разделим обе части на 3:

$x^2 = \frac{y + 2}{3}$

3. Извлечем квадратный корень из обеих частей. В общем случае мы получим два решения:

$x = \pm\sqrt{\frac{y + 2}{3}}$

4. Однако, в условии задачи дано ограничение на область определения исходной функции: $x \ge 0$. Это означает, что мы должны выбрать неотрицательный корень.

$x = \sqrt{\frac{y + 2}{3}}$

5. На последнем шаге мы меняем местами переменные $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию в стандартной форме, где $x$ — независимая переменная, а $y$ (или $g^{-1}(x)$) — зависимая.

$y = \sqrt{\frac{x + 2}{3}}$

Таким образом, обратная функция имеет вид $g^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x + 2}{3}}$.

Также определим область определения обратной функции. Она совпадает с областью значений исходной функции $g(x) = 3x^2 - 2$.

Поскольку $x \ge 0$, то $x^2 \ge 0$.

Тогда $3x^2 \ge 0$.

И $3x^2 - 2 \ge -2$.

Следовательно, область значений исходной функции — это $y \ge -2$. Это и будет областью определения для обратной функции, то есть $x \ge -2$. Это условие также обеспечивает неотрицательность подкоренного выражения в формуле для обратной функции.

Ответ: $g^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x + 2}{3}}$ при $x \ge -2$.

4.8. Составьте все возможные сложные функции, если $f(x) = 2x^2$, $g(x)=\sqrt{x+1}$.

Даны две функции: $f(x) = 2x^2$ и $g(x) = \sqrt{x} + 1$.

Сложная функция (или композиция функций) образуется путем подстановки одной функции в другую. Существует четыре возможных варианта композиции для данных функций.

f(g(x))

Для нахождения этой композиции подставляем выражение для $g(x)$ в функцию $f(x)$ вместо переменной $x$:

$f(g(x)) = f(\sqrt{x} + 1) = 2(\sqrt{x} + 1)^2$

Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$2((\sqrt{x})^2 + 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 1 + 1^2) = 2(x + 2\sqrt{x} + 1) = 2x + 4\sqrt{x} + 2$

Ответ: $f(g(x)) = 2x + 4\sqrt{x} + 2$.

g(f(x))

Подставляем выражение для $f(x)$ в функцию $g(x)$ вместо переменной $x$:

$g(f(x)) = g(2x^2) = \sqrt{2x^2} + 1$

Упростим, вынеся $x$ из-под корня. Так как $x^2$ всегда неотрицательно, при извлечении корня из $x^2$ получаем $|x|$:

$\sqrt{2x^2} + 1 = \sqrt{2}\sqrt{x^2} + 1 = \sqrt{2}|x| + 1$

Ответ: $g(f(x)) = \sqrt{2}|x| + 1$.

f(f(x))

Подставляем выражение для $f(x)$ в саму функцию $f(x)$ вместо переменной $x$:

$f(f(x)) = f(2x^2) = 2(2x^2)^2$

Упростим выражение:

$2(4x^4) = 8x^4$

Ответ: $f(f(x)) = 8x^4$.

g(g(x))

Подставляем выражение для $g(x)$ в саму функцию $g(x)$ вместо переменной $x$:

$g(g(x)) = g(\sqrt{x} + 1) = \sqrt{\sqrt{x} + 1} + 1$

Данное выражение дальнейшему упрощению не подлежит.

Ответ: $g(g(x)) = \sqrt{\sqrt{x} + 1} + 1$.

4.9. Укажите двумя способами, из каких функций составлена функция

$y=\sqrt{\frac{3}{x}}$.

Сложная функция $y = \sqrt{\frac{3}{x}}$ представляет собой композицию (суперпозицию) двух или более простых функций. Представить данную функцию в виде композиции $y = f(g(x))$ можно несколькими способами. Рассмотрим два из них.

Способ 1

В этом способе мы можем выделить подкоренное выражение в качестве внутренней функции. Пусть промежуточная переменная $u$ будет равна этому выражению.

1. Внутренняя функция $g(x)$ — это действие, которое выполняется над $x$ в первую очередь. В нашем случае это вычисление дроби:

$u = g(x) = \frac{3}{x}$

2. Внешняя функция $f(u)$ — это действие, которое выполняется над результатом работы внутренней функции. В нашем случае это извлечение квадратного корня:

$y = f(u) = \sqrt{u}$

Таким образом, мы получаем композицию $y = f(g(x)) = f(\frac{3}{x}) = \sqrt{\frac{3}{x}}$, что соответствует исходной функции.

Ответ: $y = f(g(x))$, где внешняя функция $f(u) = \sqrt{u}$ и внутренняя функция $g(x) = \frac{3}{x}$.

Способ 2

Преобразуем исходное выражение, используя свойство корня от частного: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.

$y = \sqrt{\frac{3}{x}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}$

Теперь мы можем выбрать другую внутреннюю функцию.

1. Внутренняя функция $g(x)$ — извлечение корня из знаменателя:

$u = g(x) = \sqrt{x}$

2. Внешняя функция $f(u)$ — деление постоянного числа $\sqrt{3}$ на результат работы внутренней функции:

$y = f(u) = \frac{\sqrt{3}}{u}$

Проверим композицию: $y = f(g(x)) = f(\sqrt{x}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x}}$. Это выражение тождественно равно исходному: $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{x}} = \sqrt{\frac{3}{x}}$.

Ответ: $y = f(g(x))$, где внешняя функция $f(u) = \frac{\sqrt{3}}{u}$ и внутренняя функция $g(x) = \sqrt{x}$.

4.10. Известно, что $f(x)=x$; $g(x)=\sqrt{x}$, $\phi(x)=x^2-3$. Составьте сложную функцию $f(g(\phi(x)))$ и найдите ее область определения.

Составление сложной функции $f(g(\phi(x)))$

Для того чтобы составить сложную функцию $y = f(g(\phi(x)))$, необходимо выполнить последовательную подстановку функций, начиная с самой внутренней. Даны функции: $f(x) = x$, $g(x) = \sqrt{x}$, $\phi(x) = x^2 - 3$.

1. Сначала найдем композицию $g(\phi(x))$. Для этого в функцию $g(x)$ вместо аргумента $x$ подставим выражение для функции $\phi(x)$: $g(\phi(x)) = \sqrt{\phi(x)} = \sqrt{x^2 - 3}$.

2. Затем найдем итоговую композицию $f(g(\phi(x)))$. Для этого в функцию $f(x)$ вместо аргумента $x$ подставим полученное на предыдущем шаге выражение для $g(\phi(x))$: $f(g(\phi(x))) = g(\phi(x)) = \sqrt{x^2 - 3}$.

Ответ: $f(g(\phi(x))) = \sqrt{x^2 - 3}$.

Нахождение ее области определения

Область определения (ОДЗ) сложной функции $y = \sqrt{x^2 - 3}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Составим и решим соответствующее неравенство: $x^2 - 3 \ge 0$

Перенесем свободный член в правую часть: $x^2 \ge 3$

Это неравенство эквивалентно неравенству $|x| \ge \sqrt{3}$, которое, в свою очередь, равносильно совокупности двух неравенств: $\left[ \begin{array}{l} x \ge \sqrt{3} \\ x \le -\sqrt{3} \end{array} \right.$

Записывая решение в виде промежутков, получаем объединение двух числовых лучей.

Ответ: $x \in (-\infty, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, +\infty)$.

1. Найдите область определения функции $f(x) = \sqrt{x-2}$:

A) $ [-2; +\infty) $;

B) $ (2; +\infty) $;

C) $ [2; +\infty) $;

D) $ (-\infty, 2) $.

1. Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (переменной $x$), при которых выражение функции имеет смысл.

Данная функция $f(x) = \sqrt{x-2}$ содержит квадратный корень. Арифметический квадратный корень определен только для неотрицательных чисел. Следовательно, выражение, стоящее под знаком корня, должно быть больше или равно нулю.

Составим и решим неравенство:

$x - 2 \ge 0$

Перенесем $-2$ в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный:

$x \ge 2$

Это означает, что $x$ может принимать любые значения, которые больше или равны 2. В виде числового промежутка это записывается как $[2; +\infty)$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту C.

Ответ: C) $[2; +\infty)$

2. Найдите значение функции $f(x) = x^2 - 2x + 1$ при $x_0 = 3$:

A) 4;

B) -2;

C) -1;

D) 2.

Чтобы найти значение функции $f(x) = x^2 - 2x + 1$ при $x_0 = 3$, необходимо подставить значение $x_0$ в формулу функции вместо переменной $x$.

Выполним подстановку $x = 3$:

$f(3) = (3)^2 - 2 \cdot (3) + 1$

Теперь вычислим значение выражения, соблюдая порядок действий (сначала возведение в степень и умножение, затем вычитание и сложение):

$f(3) = 9 - 6 + 1$

$f(3) = 3 + 1$

$f(3) = 4$

Также можно решить эту задачу, заметив, что выражение для функции является формулой квадрата разности: $f(x) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Подставив $x=3$ в это упрощенное выражение, получим тот же результат:

$f(3) = (3-1)^2 = 2^2 = 4$.

Таким образом, значение функции в точке $x_0=3$ равно 4. Среди предложенных вариантов ответа, это соответствует варианту A).

Ответ: 4

3. Какая из кривых, изображенных на рисунке, не является графиком функции:

A) а;

B) б;

C) в;

D) г?

Согласно определению, функция — это такая зависимость переменной $y$ от переменной $x$, при которой каждому значению аргумента $x$ из области определения соответствует единственное значение функции $y$.

Для того чтобы графически определить, является ли кривая графиком функции, можно применить так называемый "тест с вертикальной линией". Суть теста заключается в следующем: если любая вертикальная прямая (параллельная оси $Oy$) пересекает график не более чем в одной точке, то этот график задает функцию. Если же можно провести хотя бы одну вертикальную прямую, которая пересекает график в двух или более точках, то данная кривая не является графиком функции.

Рассмотрим каждую кривую, изображенную на рисунке:

а) Эта кривая проходит тест с вертикальной линией. Любая прямая, параллельная оси $Oy$, пересекает ее только в одной точке. Следовательно, это график функции.

б) Эта кривая также проходит тест с вертикальной линией. Любая вертикальная прямая пересекает ее не более чем в одной точке. Это график функции (конкретно, функции вида $y=k|x|$).

в) Эта кривая представляет собой окружность с центром в начале координат. Если провести вертикальную прямую, например, саму ось $Oy$ (уравнение которой $x=0$), то она пересечет окружность в двух точках (в верхней и нижней). Это означает, что одному значению $x$ соответствует два разных значения $y$. Уравнение этой окружности $x^2 + y^2 = R^2$, где $R$ — радиус. Выражая $y$, получаем $y = \pm\sqrt{R^2 - x^2}$, что подтверждает наличие двух значений $y$ для одного значения $x$ (при $-R < x < R$). Следовательно, эта кривая не является графиком функции.

г) Эта кривая проходит тест с вертикальной линией. Любая вертикальная прямая пересекает ее не более чем в одной точке. Это график функции (например, функции квадратного корня $y=k\sqrt{x}$ при $x \ge 0$).

Таким образом, единственная кривая, которая не является графиком функции, — это окружность на рисунке в). Соответствующий вариант ответа — C.

Ответ: C) в.