Номер 4.3, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

4.3. При каких значениях переменной $x$ функции $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$ являются взаимно-обратными?

Для того чтобы две функции были взаимно-обратными, необходимо, чтобы композиция этих функций в любом порядке давала тождественную функцию ($f(g(x))=x$ и $g(f(x))=x$), а также чтобы исходная функция была обратимой (монотонной) на рассматриваемом промежутке.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^2$. Эта функция определена на всей числовой оси ($x \in \mathbb{R}$), но она не является монотонной на всей этой оси. Она убывает при $x \le 0$ и возрастает при $x \ge 0$. Чтобы найти для нее обратную функцию, необходимо ограничить ее область определения таким образом, чтобы на новом промежутке она была монотонной.

Рассмотрим вторую функцию $g(x) = \sqrt{x}$. Ее область определения — это множество неотрицательных чисел, то есть $x \ge 0$. На этом промежутке функция $g(x)$ монотонно возрастает, следовательно, она является обратимой.

Найдем функцию, обратную для $y = x^2$. Для этого сначала выразим $x$ через $y$:

$y = x^2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{y}$

Затем, по определению обратной функции, меняем переменные $x$ и $y$ местами. Получаем $y = \pm\sqrt{x}$.

Выбор знака перед корнем зависит от того, на каком промежутке монотонности мы рассматриваем исходную функцию $y = x^2$.

1. Если мы рассматриваем $y = x^2$ при $x \ge 0$, то ее область значений $y \ge 0$. У обратной функции область определения и область значений меняются местами. Значит, для обратной функции область определения $x \ge 0$ и область значений $y \ge 0$. Этому соответствует функция $y = \sqrt{x}$.

2. Если мы рассматриваем $y = x^2$ при $x \le 0$, то ее область значений $y \ge 0$. У обратной функции область определения $x \ge 0$ и область значений $y \le 0$. Этому соответствует функция $y = -\sqrt{x}$.

По условию задачи, нам дана пара функций $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$. Они могут быть взаимно-обратными только в том случае, если мы рассматриваем функцию $y = x^2$ на промежутке $x \ge 0$. На этом же промежутке определена и функция $y = \sqrt{x}$.

Таким образом, функции $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$ являются взаимно-обратными на общей области определения, где это взаимное соответствие выполняется, то есть при $x \ge 0$.

Проверка:

Пусть $f(x) = x^2$, где $x \ge 0$, и $g(x) = \sqrt{x}$, где $x \ge 0$.

$f(g(x)) = (\sqrt{x})^2 = x$. Равенство верно для всех $x$ из области определения $g(x)$, т.е. для $x \ge 0$.

$g(f(x)) = \sqrt{x^2} = |x|$. Так как область определения $f(x)$ ограничена $x \ge 0$, то $|x| = x$. Равенство $g(f(x)) = x$ верно для всех $x \ge 0$.

Ответ: Функции $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$ являются взаимно-обратными при $x \ge 0$.