Номер 3.10, страница 26 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.10. Известно, что функция $y = f(x)$ — четная. Дополняя формулу функции, каким алгебраическим слагаемым можно получить:

1) четную функцию;

2) функцию общего вида:

а) $f(x) = 2x^2;$ б) $f(x) = x^4 - x^2?$

Для решения этой задачи воспользуемся определениями и свойствами четности функций. Функция $g(x)$ является четной, если $g(-x) = g(x)$, и нечетной, если $g(-x) = -g(x)$. Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида. Сумма двух четных функций является четной функцией. Сумма четной и ненулевой нечетной функции является функцией общего вида. В задаче дана четная функция $y=f(x)$, к которой нужно добавить алгебраическое слагаемое $g(x)$, чтобы получить новую функцию $F(x) = f(x) + g(x)$ с заданными свойствами.

а) Исходная функция $f(x) = 2x^2$ является четной, так как $f(-x) = 2(-x)^2 = 2x^2 = f(x)$.

1) Чтобы получить четную функцию, к исходной четной функции $f(x)$ необходимо добавить слагаемое $g(x)$, которое также является четной функцией. Примером такого алгебраического слагаемого является любая константа $c$ (так как $g(x)=c$ - четная функция) или любой одночлен с четной степенью, например, $ax^{2k}$, где $k$ - целое неотрицательное число. Например, добавив $g(x)=5$, получим $F(x)=2x^2+5$, которая является четной.

Ответ: можно добавить любое алгебраическое слагаемое, представляющее собой четную функцию, например, константу $c$ или одночлен вида $ax^{2k}$ ($k$ — целое неотрицательное число).

2) Чтобы получить функцию общего вида, к исходной четной функции $f(x)$ необходимо добавить слагаемое $g(x)$, которое не является четной функцией. Самый простой способ — добавить ненулевую нечетную функцию. Примером такого слагаемого является любой ненулевой одночлен с нечетной степенью, например, $ax^{2k+1}$, где $k$ - целое неотрицательное число и $a \ne 0$. Например, добавив $g(x)=3x$, получим $F(x) = 2x^2 + 3x$. Эта функция является функцией общего вида, поскольку $F(-x) = 2(-x)^2 + 3(-x) = 2x^2 - 3x$, и $F(-x) \ne F(x)$, и $F(-x) \ne -F(x)$ (для $x \ne 0$).

Ответ: можно добавить любое алгебраическое слагаемое, не являющееся четной функцией, например, любой ненулевой одночлен с нечетной степенью вида $ax^{2k+1}$ ($k$ — целое неотрицательное число, $a \ne 0$).

б) Исходная функция $f(x) = x^4 - x^2$ является четной, так как является разностью двух четных функций ($x^4$ и $x^2$). Проверка: $f(-x) = (-x)^4 - (-x)^2 = x^4 - x^2 = f(x)$.

1) Чтобы получить четную функцию, к исходной четной функции $f(x)$ нужно добавить другое слагаемое $g(x)$, являющееся четной функцией. Как и в предыдущем пункте, это может быть константа или одночлен с четной степенью. Например, добавив $g(x)=ax^6$, получим четную функцию $F(x) = x^4 - x^2 + ax^6$.

Ответ: можно добавить любое алгебраическое слагаемое, представляющее собой четную функцию, например, константу $c$ или одночлен вида $ax^{2k}$ ($k$ — целое неотрицательное число).

2) Чтобы получить функцию общего вида, к исходной четной функции $f(x)$ нужно добавить слагаемое $g(x)$, которое не является четной функцией, например, ненулевую нечетную функцию. Это может быть любой ненулевой одночлен с нечетной степенью. Например, добавив $g(x)=x^5$, получим функцию общего вида $F(x) = x^4 - x^2 + x^5$.

Ответ: можно добавить любое алгебраическое слагаемое, не являющееся четной функцией, например, любой ненулевой одночлен с нечетной степенью вида $ax^{2k+1}$ ($k$ — целое неотрицательное число, $a \ne 0$).