Номер 3.5, страница 25 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.5. На рисунках 23–24 изображена часть графика функции. По графику найдите:

1) координаты точек пересечений графика функции с осями координат;

2) промежутки возрастания и убывания;

3) промежутки знакопостоянства функции.

Для графика на Рис. 23:

1) координаты точек пересечений графика функции с осями координат

Чтобы найти точку пересечения с осью ординат (ось $y$), нужно найти значение функции при $x=0$. По графику $y(0)=2$. Следовательно, точка пересечения с осью $y$: $(0, 2)$.

Чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс (ось $x$), нужно найти значения $x$, при которых $y=0$. По графику это происходит в точках $x=-4$ и $x=4$. Следовательно, точки пересечения с осью $x$: $(-4, 0)$ и $(4, 0)$.

Ответ: $(0, 2)$, $(-4, 0)$, $(4, 0)$.

2) промежутки возрастания и убывания

Функция возрастает на тех промежутках, где ее график направлен вверх при движении слева направо. Для данного графика это промежуток от локального минимума в точке $x=-2$ до локального максимума в точке $x=2$.

Функция убывает на тех промежутках, где ее график направлен вниз. Это происходит от начала области определения ($x=-5$) до локального минимума ($x=-2$) и от локального максимума ($x=2$) до конца области определения ($x=5$).

Ответ: возрастание на $[-2, 2]$; убывание на $[-5, -2]$ и $[2, 5]$.

3) промежутки знакопостоянства функции

Функция положительна ($y>0$), когда ее график находится выше оси $x$. Это соответствует интервалу между корнями функции, то есть от $x=-4$ до $x=4$.

Функция отрицательна ($y<0$), когда ее график находится ниже оси $x$. Это соответствует промежуткам от $x=-5$ до $x=-4$ и от $x=4$ до $x=5$.

Ответ: $y>0$ при $x \in (-4, 4)$; $y<0$ при $x \in [-5, -4) \cup (4, 5]$.

Для графика на Рис. 24:

1) координаты точек пересечений графика функции с осями координат

Пересечение с осью ординат (ось $y$): при $x=0$ значение $y=4$. Точка $(0, 4)$.

Пересечения с осью абсцисс (ось $x$): при $y=0$ значения $x=-2$ и $x=4$. Точки $(-2, 0)$ и $(4, 0)$.

Ответ: $(0, 4)$, $(-2, 0)$, $(4, 0)$.

2) промежутки возрастания и убывания

Функция возрастает от начала области определения ($x=-3$) до точки локального максимума ($x=2$).

Функция убывает от точки локального максимума ($x=2$) до конца области определения ($x=6$).

Ответ: возрастание на $[-3, 2]$; убывание на $[2, 6]$.

3) промежутки знакопостоянства функции

Функция положительна ($y>0$) на интервале, где график выше оси $x$, то есть между корнями $x=-2$ и $x=4$.

Функция отрицательна ($y<0$) на интервалах, где график ниже оси $x$, то есть от $x=-3$ до $x=-2$ и от $x=4$ до $x=6$.

Ответ: $y>0$ при $x \in (-2, 4)$; $y<0$ при $x \in [-3, -2) \cup (4, 6]$.