Номер 3.11, страница 26 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.11. Известно, что функция $y = f(x)$ — нечетная. Дополняя формулу функции, каким алгебраическим слагаемым можно получить:

1) нечетную функцию;

2) функцию общего вида:

а) $f(x) = -3x^3$;

б) $f(x) = x + x^3$?

Для решения этой задачи воспользуемся определениями четных и нечетных функций, а также свойствами их сумм.

Функция $h(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $h(-x) = -h(x)$.

Функция $h(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $h(-x) = h(x)$.

Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида.

Ключевые свойства, которые нам понадобятся: сумма двух нечетных функций является нечетной функцией; сумма нечетной функции и ненулевой четной функции является функцией общего вида.

По условию, исходная функция $y = f(x)$ является нечетной. Мы должны добавить к ней алгебраическое слагаемое $g(x)$, чтобы новая функция $H(x) = f(x) + g(x)$ стала либо нечетной, либо функцией общего вида.

а) $f(x) = -3x^3$

Сначала убедимся, что данная функция действительно нечетная: $f(-x) = -3(-x)^3 = -3(-x^3) = 3x^3 = -(-3x^3) = -f(x)$.

1) нечетную функцию

Чтобы итоговая функция $H(x) = f(x) + g(x)$ была нечетной, к исходной нечетной функции $f(x)$ нужно прибавить другое алгебраическое слагаемое $g(x)$, которое также является нечетной функцией. Алгебраическое слагаемое является нечетной функцией, если оно имеет вид $ax^k$, где $k$ — нечетное натуральное число. Например, можно добавить слагаемое $g(x) = 2x$ или $g(x) = -x^5$. Новая функция, например $H(x) = -3x^3 + 2x$, также будет нечетной.

Ответ: чтобы получить нечетную функцию, нужно добавить любое алгебраическое слагаемое, которое само является нечетной функцией, например, вида $ax^k$, где $a \neq 0$ и $k$ — нечетное натуральное число.

2) функцию общего вида

Чтобы итоговая функция $H(x) = f(x) + g(x)$ была функцией общего вида, к исходной нечетной функции $f(x)$ нужно прибавить слагаемое $g(x)$, которое не является нечетной функцией. Самый простой способ — добавить ненулевую четную функцию. Алгебраическое слагаемое является четной функцией, если оно имеет вид $ax^k$, где $k$ — четное натуральное число, или является ненулевой константой $c$ (так как $c = cx^0$). Например, добавим $g(x) = 5x^2$ или $g(x) = -4$. Новая функция, например, $H(x) = -3x^3 + 5x^2$, будет функцией общего вида. Проверим: $H(-x) = -3(-x)^3 + 5(-x)^2 = 3x^3 + 5x^2$. Это выражение не равно ни $H(x) = -3x^3 + 5x^2$, ни $-H(x) = 3x^3 - 5x^2$.

Ответ: чтобы получить функцию общего вида, нужно добавить любое алгебраическое слагаемое, не являющееся нечетной функцией. Например, слагаемое, которое является четной функцией вида $ax^k$, где $a \neq 0$ и $k$ — четное натуральное число, или ненулевую константу $c$.

б) $f(x) = x + x^3$

Данная функция является нечетной, так как представляет собой сумму двух нечетных функций ($x$ и $x^3$). Проверим: $f(-x) = (-x) + (-x)^3 = -x - x^3 = -(x+x^3) = -f(x)$.

1) нечетную функцию

Аналогично пункту а), чтобы получить нечетную функцию, к $f(x) = x + x^3$ нужно прибавить другую нечетную функцию $g(x)$. Например, слагаемое $g(x) = -x$ или $g(x) = 4x^3$. Новая функция, например, $H(x) = (x+x^3) - x = x^3$, также будет нечетной.

Ответ: чтобы получить нечетную функцию, нужно добавить любое алгебраическое слагаемое, которое само является нечетной функцией, например, вида $ax^k$, где $a \neq 0$ и $k$ — нечетное натуральное число.

2) функцию общего вида

Аналогично пункту а), чтобы получить функцию общего вида, к $f(x) = x + x^3$ нужно прибавить слагаемое $g(x)$, не являющееся нечетной функцией. Например, можно добавить ненулевую четную функцию, такую как $g(x) = 7x^4$ или константу $g(x) = 2$. Новая функция, например, $H(x) = x + x^3 + 2$, будет функцией общего вида. Проверим: $H(-x) = (-x) + (-x)^3 + 2 = -x - x^3 + 2$. Это выражение не равно ни $H(x) = x + x^3 + 2$, ни $-H(x) = -x - x^3 - 2$.

Ответ: чтобы получить функцию общего вида, нужно добавить любое алгебраическое слагаемое, не являющееся нечетной функцией. Например, слагаемое, которое является четной функцией вида $ax^k$, где $a \neq 0$ и $k$ — четное натуральное число, или ненулевую константу $c$.