Номер 3.9, страница 26 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.9. Используя простейшие преобразования, постройте график функции:

а) $y = 2x - x^2$;

б) $y = \frac{1}{x + 2} - 3$.

По графику определите промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, промежутки знакопостоянства.

а) y = 2x - x²;

Данная функция является квадратичной. Для построения графика преобразуем её, выделив полный квадрат. Это позволит нам увидеть, какие преобразования нужно применить к базовой функции $y = x^2$.

$y = 2x - x^2 = -x^2 + 2x = -(x^2 - 2x)$

Дополним выражение в скобках до полного квадрата, прибавив и вычтя 1:

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) = -((x-1)^2 - 1) = -(x-1)^2 + 1$.

График этой функции — парабола, которую можно получить из графика функции $y = x^2$ с помощью следующих простейших преобразований:

1. Отобразить график $y = x^2$ симметрично относительно оси Ox, чтобы получить график $y = -x^2$. Ветви параболы будут направлены вниз.

2. Сдвинуть полученный график на 1 единицу вправо по оси Ox, чтобы получить график $y = -(x-1)^2$.

3. Сдвинуть полученный график на 1 единицу вверх по оси Oy, чтобы получить итоговый график $y = -(x-1)^2 + 1$.

Вершина параболы находится в точке $(1, 1)$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат для более точного построения:

Пересечение с осью Oy (полагаем $x=0$): $y = 2 \cdot 0 - 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.

Пересечение с осью Ox (полагаем $y=0$): $2x - x^2 = 0 \Rightarrow x(2-x) = 0$. Корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Теперь проанализируем свойства функции по построенному графику:

Промежутки возрастания и убывания: Так как ветви параболы направлены вниз, а вершина находится в точке $x=1$, функция возрастает до вершины и убывает после нее.

Функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$.

Функция убывает на промежутке $[1, \infty)$.

Точки экстремума: Вершина параболы является точкой максимума.

Точка максимума: $x_{max} = 1$. Максимальное значение функции: $y_{max} = y(1) = 1$.

Промежутки знакопостоянства:

Функция положительна ($y > 0$), когда ее график находится выше оси Ox. Это происходит на интервале между корнями.

$y > 0$ при $x \in (0, 2)$.

Функция отрицательна ($y < 0$), когда ее график находится ниже оси Ox.

$y < 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$.

Ответ:

График — парабола с вершиной в точке $(1, 1)$ и ветвями, направленными вниз, пересекающая оси в точках $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

Промежуток возрастания: $(-\infty, 1]$.

Промежуток убывания: $[1, \infty)$.

Точка экстремума (максимум): $(1, 1)$.

Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0, 2)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$.

б) y = 1/(x + 2) - 3.

Данная функция является дробно-линейной. Её график — гипербола. Его можно получить из графика базовой функции $y = 1/x$ с помощью следующих преобразований:

1. Сдвинуть график $y = 1/x$ на 2 единицы влево по оси Ox. Получим график функции $y = 1/(x+2)$. Вертикальная асимптота сместится из $x=0$ в $x=-2$.

2. Сдвинуть полученный график на 3 единицы вниз по оси Oy. Получим итоговый график $y = 1/(x+2) - 3$. Горизонтальная асимптота сместится из $y=0$ в $y=-3$.

Таким образом, график функции — гипербола с вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=-3$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат для более точного построения:

Пересечение с осью Oy (полагаем $x=0$): $y = 1/(0+2) - 3 = 1/2 - 3 = -2.5$. Точка $(0, -2.5)$.

Пересечение с осью Ox (полагаем $y=0$): $1/(x+2) - 3 = 0 \Rightarrow 1/(x+2) = 3 \Rightarrow 1 = 3(x+2) \Rightarrow 1 = 3x + 6 \Rightarrow 3x = -5 \Rightarrow x = -5/3$. Точка $(-5/3, 0)$.

Теперь проанализируем свойства функции по построенному графику:

Промежутки возрастания и убывания: Так как коэффициент при $x$ в знаменателе положителен (и в числителе тоже), функция является убывающей на всей своей области определения, как и базовая функция $y=1/x$.

Функция убывает на промежутках $(-\infty, -2)$ и $(-2, \infty)$.

Точки экстремума: Функция является монотонно убывающей на каждом из интервалов своей области определения, поэтому точек максимума или минимума у неё нет.

Промежутки знакопостоянства: Знак функции может меняться в точке пересечения с осью Ox ($x = -5/3$) и в точке разрыва (вертикальная асимптота $x = -2$). Эти точки делят числовую ось на три интервала.

Функция положительна ($y > 0$), когда $1/(x+2) - 3 > 0 \Rightarrow 1/(x+2) > 3$. Это неравенство выполняется, когда $0 < x+2 < 1/3$, что эквивалентно $-2 < x < -5/3$.

$y > 0$ при $x \in (-2, -5/3)$.

Функция отрицательна ($y < 0$) на остальных частях области определения.

$y < 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (-5/3, \infty)$.

Ответ:

График — гипербола с вертикальной асимптотой $x=-2$ и горизонтальной асимптотой $y=-3$.

Промежутки убывания: $(-\infty, -2)$ и $(-2, \infty)$.

Точек экстремума нет.

Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-2, -5/3)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (-5/3, \infty)$.