Номер 4.4, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

4.4. Составьте все возможные сложные функции из функций $y = 2x$, $y = x^2$, $y = \frac{1}{x}$.

Для того чтобы составить все возможные сложные функции из данных, введем для удобства следующие обозначения для исходных функций:

$f(x) = 2x$

$g(x) = x^2$

$h(x) = \frac{1}{x}$

Сложная функция, или композиция функций, образуется, когда одна функция (называемая внутренней) подставляется в качестве аргумента в другую функцию (называемую внешней). Например, в композиции $y = f(g(x))$, функция $g(x)$ является внутренней, а $f(x)$ — внешней. Мы должны рассмотреть все возможные комбинации пар функций, включая случай, когда функция составляется сама с собой. Всего таких комбинаций 9.

Композиция $y = f(f(x))$

Здесь функция $f(x)$ является и внешней, и внутренней. Подставляем выражение для $f(x)$ в нее же:

$y = f(f(x)) = f(2x) = 2(2x) = 4x$

Ответ: $y = 4x$

Композиция $y = f(g(x))$

Здесь внешняя функция — $f(x)$, а внутренняя — $g(x)$. Подставляем $g(x)$ в $f(x)$:

$y = f(g(x)) = f(x^2) = 2(x^2) = 2x^2$

Ответ: $y = 2x^2$

Композиция $y = f(h(x))$

Здесь внешняя функция — $f(x)$, а внутренняя — $h(x)$. Подставляем $h(x)$ в $f(x)$:

$y = f(h(x)) = f\left(\frac{1}{x}\right) = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$

Ответ: $y = \frac{2}{x}$

Композиция $y = g(f(x))$

Здесь внешняя функция — $g(x)$, а внутренняя — $f(x)$. Подставляем $f(x)$ в $g(x)$:

$y = g(f(x)) = g(2x) = (2x)^2 = 4x^2$

Ответ: $y = 4x^2$

Композиция $y = g(g(x))$

Здесь функция $g(x)$ является и внешней, и внутренней. Подставляем $g(x)$ в нее же:

$y = g(g(x)) = g(x^2) = (x^2)^2 = x^4$

Ответ: $y = x^4$

Композиция $y = g(h(x))$

Здесь внешняя функция — $g(x)$, а внутренняя — $h(x)$. Подставляем $h(x)$ в $g(x)$:

$y = g(h(x)) = g\left(\frac{1}{x}\right) = \left(\frac{1}{x}\right)^2 = \frac{1}{x^2}$

Ответ: $y = \frac{1}{x^2}$

Композиция $y = h(f(x))$

Здесь внешняя функция — $h(x)$, а внутренняя — $f(x)$. Подставляем $f(x)$ в $h(x)$:

$y = h(f(x)) = h(2x) = \frac{1}{2x}$

Ответ: $y = \frac{1}{2x}$

Композиция $y = h(g(x))$

Здесь внешняя функция — $h(x)$, а внутренняя — $g(x)$. Подставляем $g(x)$ в $h(x)$:

$y = h(g(x)) = h(x^2) = \frac{1}{x^2}$

Ответ: $y = \frac{1}{x^2}$

Композиция $y = h(h(x))$

Здесь функция $h(x)$ является и внешней, и внутренней. Подставляем $h(x)$ в нее же:

$y = h(h(x)) = h\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x$

Ответ: $y = x$