Номер 4.5, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

4.5. Найдите обратную функцию следующей функции при $x \ge 0$:

а) $y = 2x + 3$;

б) $y = -6x + 9$ и постройте их графики.

а)

Дана функция $y = 2x + 3$ с ограничением на область определения $x \ge 0$.

1. Нахождение обратной функции.

Чтобы найти обратную функцию, необходимо выразить $x$ через $y$:

$y = 2x + 3$

$y - 3 = 2x$

$x = \frac{y - 3}{2}$

Теперь поменяем местами $x$ и $y$, чтобы получить функцию в стандартном виде. Обратная функция:

$y = \frac{x - 3}{2}$ или $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$.

2. Определение области определения и области значений.

Для исходной функции $y = 2x + 3$:

Область определения задана условием: $D(y) = [0, +\infty)$.

Найдем область значений. Так как $x \ge 0$, то $2x \ge 0$, и $2x + 3 \ge 3$. Следовательно, область значений $E(y) = [3, +\infty)$.

Для обратной функции $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$:

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной: $D(y) = [3, +\infty)$.

Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной: $E(y) = [0, +\infty)$.

3. Построение графиков.

Графиком функции $y = 2x + 3$ является прямая. С учетом ограничения $x \ge 0$ это будет луч. Найдем две точки:

- при $x=0$, $y=2(0)+3=3$. Начальная точка луча: $(0, 3)$.

- при $x=2$, $y=2(2)+3=7$. Точка на луче: $(2, 7)$.

Графиком обратной функции $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ также является луч с областью определения $x \ge 3$. Найдем две точки:

- при $x=3$, $y=\frac{1}{2}(3) - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0$. Начальная точка луча: $(3, 0)$.

- при $x=7$, $y=\frac{1}{2}(7) - \frac{3}{2} = \frac{7}{2} - \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Точка на луче: $(7, 2)$.

Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ при $x \ge 3$.

б)

Дана функция $y = -6x + 9$ с ограничением на область определения $x \ge 0$.

1. Нахождение обратной функции.

Выразим $x$ через $y$:

$y = -6x + 9$

$6x = 9 - y$

$x = \frac{9 - y}{6}$

Меняем местами $x$ и $y$, чтобы получить обратную функцию:

$y = \frac{9 - x}{6}$ или $y = -\frac{1}{6}x + \frac{3}{2}$.

2. Определение области определения и области значений.

Для исходной функции $y = -6x + 9$:

Область определения задана условием: $D(y) = [0, +\infty)$.

Найдем область значений. Так как $x \ge 0$, то $-6x \le 0$, и $-6x + 9 \le 9$. Следовательно, область значений $E(y) = (-\infty, 9]$.

Для обратной функции $y = -\frac{1}{6}x + \frac{3}{2}$:

Область определения обратной функции совпадает с областью значений исходной: $D(y) = (-\infty, 9]$.

Область значений обратной функции совпадает с областью определения исходной: $E(y) = [0, +\infty)$.

3. Построение графиков.

Графиком функции $y = -6x + 9$ при $x \ge 0$ является луч. Найдем две точки:

- при $x=0$, $y=-6(0)+9=9$. Начальная точка луча: $(0, 9)$.

- при $x=1.5$, $y=-6(1.5)+9=0$. Точка пересечения с осью Ox: $(1.5, 0)$.

Графиком обратной функции $y = -\frac{1}{6}x + \frac{3}{2}$ является луч с областью определения $x \le 9$. Найдем две точки:

- при $x=9$, $y=-\frac{1}{6}(9) + \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 0$. Конечная точка луча: $(9, 0)$.

- при $x=0$, $y=-\frac{1}{6}(0) + \frac{3}{2} = 1.5$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 1.5)$.

Графики исходной и обратной функций симметричны относительно прямой $y=x$.

Ответ: Обратная функция $y = -\frac{1}{6}x + \frac{3}{2}$ при $x \le 9$.