Вопросы, страница 28 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Всякой ли функции можно найти обратную функцию? Ответ объясните.

2. Являются ли сложными функции: $y = x^2$, $y = (3x + 5)^2$?

1. Нет, не для всякой функции можно найти обратную. Обратная функция существует только для так называемых обратимых функций. Функция является обратимой, если она устанавливает взаимно однозначное соответствие между элементами своей области определения и области значений. Это означает, что каждому значению аргумента $x$ соответствует единственное значение функции $y$, и, наоборот, каждому значению функции $y$ соответствует единственное значение аргумента $x$.

Основным достаточным условием обратимости для непрерывной функции является строгая монотонность. То есть, если функция на всей своей области определения является строго возрастающей или строго убывающей, то она обратима.

Рассмотрим контрпример. Функция $y = x^2$ задана на всей числовой оси $x \in (-\infty; +\infty)$. Она не является строго монотонной на этой области. Например, одному и тому же значению $y=9$ соответствуют два разных значения аргумента: $x=3$ и $x=-3$. Из-за этой неоднозначности невозможно построить обратную функцию на всей области определения. Однако, если мы сузим область определения, например, до промежутка $[0; +\infty)$, то на этом промежутке функция $y=x^2$ будет строго возрастать, и для нее будет существовать обратная функция $y = \sqrt{x}$.

Ответ: Нет, обратную функцию можно найти не для всякой функции, а только для обратимой (взаимно однозначной). Примером функции, для которой нельзя найти обратную на всей области определения, является $y=x^2$.

2. Сложная функция (или композиция функций) — это функция, аргументом которой, в свою очередь, является другая функция. Общий вид сложной функции: $y = f(g(x))$, где $g(x)$ — это внутренняя функция, а $f(u)$ — внешняя функция.

Проанализируем данные функции:

Функция $y = x^2$. Это основная элементарная степенная функция. Она не является результатом композиции других, более простых элементарных функций (за исключением тривиального случая, где внутренняя функция — тождественная, $g(x)=x$). Поэтому в стандартной классификации она не считается сложной.

Функция $y = (3x + 5)^2$. Эта функция является сложной. Чтобы вычислить ее значение, нужно сначала выполнить действие, заданное внутренней функцией (найти значение выражения $3x+5$), а затем к результату применить внешнюю функцию (возвести в квадрат).

Здесь можно выделить:

• внутреннюю функцию $u = g(x) = 3x + 5$;

• внешнюю функцию $y = f(u) = u^2$.

Тогда исходная функция является их композицией: $y = f(g(x)) = (3x+5)^2$.

Ответ: Функция $y = x^2$ не является сложной (это основная элементарная функция), а функция $y = (3x+5)^2$ является сложной.