Номер 3.6, страница 25 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.6. Докажите четность или нечетность функции:

а) $y=\frac{2}{3}x^4 + 4|x|$;

б) $f(x)=|x| - 2x^2$;

в) $f(x)=\frac{x^2 - 16}{0,5\sin 2x}$;

г) $f(x)=\frac{x(x - 3)}{\cos3x}$.

а) $y = \frac{2}{3}x^4 + 4|x|$

Чтобы определить четность или нечетность функции, нужно проверить два условия:

1. Область определения функции должна быть симметрична относительно нуля.

2. Должно выполняться одно из равенств: $y(-x) = y(x)$ (четная функция) или $y(-x) = -y(x)$ (нечетная функция).

Для функции $y(x) = \frac{2}{3}x^4 + 4|x|$:

1. Область определения $D(y)$ — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$. Этот интервал симметричен относительно нуля.

2. Найдем значение функции для аргумента $-x$:

$y(-x) = \frac{2}{3}(-x)^4 + 4|-x|$.

Поскольку четная степень отрицательного числа равна положительному числу ($(-x)^4 = x^4$) и модуль отрицательного числа равен модулю положительного числа ($|-x| = |x|$), получаем:

$y(-x) = \frac{2}{3}x^4 + 4|x|$.

Сравнивая полученное выражение с исходной функцией, видим, что $y(-x) = y(x)$.

Следовательно, функция является четной.

Ответ: функция четная.

б) $f(x) = |x| - 2x^2$

1. Область определения $D(f)$ — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$, которая симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = |-x| - 2(-x)^2$.

Так как $|-x| = |x|$ и $(-x)^2 = x^2$, то:

$f(-x) = |x| - 2x^2$.

Сравнивая результат с исходной функцией, получаем $f(-x) = f(x)$.

Следовательно, функция является четной.

Ответ: функция четная.

в) $f(x) = \frac{x^2 - 16}{0,5\sin(2x)}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не должен равняться нулю:

$0,5\sin(2x) \neq 0 \implies \sin(2x) \neq 0 \implies 2x \neq k\pi \implies x \neq \frac{k\pi}{2}$, где $k$ — любое целое число.

Область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{k\pi}{2} | k \in \mathbb{Z} \}$ симметрична относительно нуля, так как если $x_0$ не принадлежит области определения, то и $-x_0$ также не принадлежит ей.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{(-x)^2 - 16}{0,5\sin(2(-x))}$.

Учитывая свойства степеней и тригонометрических функций: $(-x)^2 = x^2$ и $\sin(-2x) = -\sin(2x)$ (синус — нечетная функция).

$f(-x) = \frac{x^2 - 16}{0,5(-\sin(2x))} = -\frac{x^2 - 16}{0,5\sin(2x)}$.

Сравнивая результат с исходной функцией, получаем $f(-x) = -f(x)$.

Следовательно, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

г) $f(x) = \frac{x(x - 3)}{\cos(3x)}$

1. Найдем область определения. Знаменатель не должен равняться нулю:

$\cos(3x) \neq 0 \implies 3x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3}$, где $k$ — любое целое число.

Область определения $D(f) = \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{3} | k \in \mathbb{Z} \}$ симметрична относительно нуля.

2. Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{(-x)((-x) - 3)}{\cos(3(-x))}$.

Раскроем скобки в числителе и используем свойство четности косинуса $\cos(-3x) = \cos(3x)$:

$f(-x) = \frac{-x(-x - 3)}{\cos(3x)} = \frac{x(x + 3)}{\cos(3x)} = \frac{x^2 + 3x}{\cos(3x)}$.

Сравним полученное выражение с $f(x) = \frac{x(x-3)}{\cos(3x)} = \frac{x^2 - 3x}{\cos(3x)}$.

$f(-x) = \frac{x^2 + 3x}{\cos(3x)} \neq f(x)$.

$f(-x) = \frac{x^2 + 3x}{\cos(3x)} \neq -f(x) = -\frac{x^2 - 3x}{\cos(3x)} = \frac{3x - x^2}{\cos(3x)}$.

Поскольку не выполняется ни условие четности $f(-x) = f(x)$, ни условие нечетности $f(-x) = -f(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной.