Номер 3.1, страница 24 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.1. Является ли четной функция:

a) $f(x) = -3x^4 + 2.5x^2$;

б) $f(x) = \cos\frac{2x}{3} - 4x^2 + x$;

в) $f(x) = 5\sin^2x + \frac{1}{2} - x$;

г) $f(x) = -2.5x^6 - 5?$;

Функция $f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Область определения ($D(f)$) для всех представленных функций — множество всех действительных чисел ($R$), которое является симметричным относительно нуля. Проверим для каждой функции выполнение условия четности.

а) $f(x) = -3x^4 + 2,5x^2$

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = -3(-x)^4 + 2,5(-x)^2 = -3x^4 + 2,5x^2$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: да, функция является четной.

б) $f(x) = \cos\frac{2x}{3} - 4x^2 + x$

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = \cos\frac{2(-x)}{3} - 4(-x)^2 + (-x)$.

Используя свойство четности функции косинус ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$) и свойства степеней, получаем:

$f(-x) = \cos\frac{2x}{3} - 4x^2 - x$.

Сравним полученное выражение с исходной функцией: $f(-x) = \cos\frac{2x}{3} - 4x^2 - x \neq f(x)$.

Условие четности не выполняется, следовательно, функция не является четной.

Ответ: нет, функция не является четной.

в) $f(x) = 5\sin^2x + \frac{1}{2} - x$

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = 5\sin^2(-x) + \frac{1}{2} - (-x)$.

Так как $\sin^2(-x) = (\sin(-x))^2$ и функция синус является нечетной ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$), то $(\sin(-x))^2 = (-\sin(x))^2 = \sin^2(x)$.

Тогда $f(-x) = 5\sin^2x + \frac{1}{2} + x$.

Сравним полученное выражение с исходной функцией: $f(-x) = 5\sin^2x + \frac{1}{2} + x \neq f(x)$.

Условие четности не выполняется, следовательно, функция не является четной.

Ответ: нет, функция не является четной.

г) $f(x) = -2,5x^6 - 5$

Найдем значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = -2,5(-x)^6 - 5 = -2,5x^6 - 5$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: да, функция является четной.