Номер 2.8, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

2.8. С помощью графика определите, пересекаются ли графики функций:

а) $y = x^2 - 2x$ и $y = -1;$

б) $y = x^2 - 5x + 4$ и $y = -\frac{3}{x}?$

а) Чтобы определить, пересекаются ли графики функций $y = x^2 - 2x$ и $y = -1$, построим их эскизы.

График функции $y = x^2 - 2x$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:$x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

Подставим $x_v=1$ в уравнение параболы, чтобы найти ординату вершины:$y_v = 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, -1)$. Эта точка является точкой минимума функции.

График функции $y = -1$ — это горизонтальная прямая, проходящая через все точки с ординатой, равной $-1$.

Поскольку вершина параболы, точка $(1, -1)$, лежит на прямой $y = -1$, графики данных функций имеют одну общую точку. Следовательно, они пересекаются.

Ответ: да, пересекаются.

б) Чтобы определить, пересекаются ли графики функций $y = x^2 - 5x + 4$ и $y = -\frac{3}{x}$, построим их эскизы в одной системе координат.

1. График функции $y = x^2 - 5x + 4$ — это парабола, ветви которой направлены вверх.

- Найдем вершину параболы: $x_v = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = 2.5$. $y_v = (2.5)^2 - 5(2.5) + 4 = 6.25 - 12.5 + 4 = -2.25$. Вершина — точка $(2.5, -2.25)$.

- Найдем точки пересечения с осью абсцисс (Ох), решив уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Точки пересечения с осью Ох — $(1, 0)$ и $(4, 0)$.

2. График функции $y = -\frac{3}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.

3. Сопоставим графики на координатной плоскости.

- Во II четверти (где $x < 0$): ветвь параболы проходит выше оси Ох (например, в точке $x=-1$, $y = 1+5+4=10$). Ветвь гиперболы также находится в этой четверти (в точке $x=-1$, $y=3$). При $x \to 0^-$ ветвь гиперболы уходит на $+\infty$, а ветвь параболы стремится к точке $(0, 4)$. При $x \to -\infty$ ветвь параболы уходит на $+\infty$, а ветвь гиперболы стремится к $0$. Из такого расположения следует, что графики обязательно пересекутся в этой четверти.

- В IV четверти (где $x > 0$): ветвь гиперболы целиком лежит ниже оси Ох. Парабола на интервале $(1, 4)$ также находится ниже оси Ох, опускаясь до минимума в точке $(2.5, -2.25)$. В точке $x=1$ парабола находится на оси ($y=0$), а гипербола ниже ($y=-3$). В точке $x=4$ парабола снова на оси ($y=0$), а гипербола все еще ниже ($y=-0.75$). Между этими точками, например, при $x=2.5$, парабола достигает своего минимума $y=-2.25$, в то время как гипербола имеет значение $y = -3/2.5 = -1.2$. Так как в одних точках парабола ниже гиперболы, а в других — выше, их графики пересекаются, и судя по форме, делают это дважды на данном участке.

Таким образом, графики имеют общие точки пересечения.

Ответ: да, пересекаются.