Страница 19 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

2.1. Используя график функции $y = x$, постройте в одной координатной плоскости графики функций $y = 3x$; $y = -2x$; $y = x + 2$; $y = -4x - 1$.

Все заданные функции вида $y = kx + b$ являются линейными, и их графики — это прямые линии. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой. В задаче предлагается использовать в качестве основы график функции $y=x$. Это прямая, проходящая через начало координат (0, 0) и точку (1, 1).

y = 3x;

Данный график можно получить из графика функции $y=x$ путем растяжения вдоль оси ординат (OY) в 3 раза. Это означает, что при том же значении $x$ значение $y$ будет в 3 раза больше. Возьмем две точки на исходном графике $y=x$, например, O(0, 0) и A(1, 1). Для графика $y=3x$ соответствующие точки будут O'(0, $3 \cdot 0$) = (0, 0) и A'(1, $3 \cdot 1$) = (1, 3). Соединив эти две точки, получим искомый график.

Ответ: График функции $y = 3x$ — это прямая, проходящая через точки (0, 0) и (1, 3).

y = -2x;

График этой функции можно получить из графика $y=x$ путем растяжения вдоль оси OY в 2 раза с последующим симметричным отражением относительно оси абсцисс (OX). Каждой точке $(x_0, y_0)$ на графике $y=x$ будет соответствовать точка $(x_0, -2y_0)$ на графике $y=-2x$. Возьмем точки O(0, 0) и A(1, 1) на прямой $y=x$. Для графика $y=-2x$ они преобразуются в точки O'(0, $-2 \cdot 0$) = (0, 0) и A'(1, $-2 \cdot 1$) = (1, -2). Проводим прямую через эти точки.

Ответ: График функции $y = -2x$ — это прямая, проходящая через точки (0, 0) и (1, -2).

y = x + 2;

Этот график получается из графика $y=x$ путем параллельного переноса (сдвига) на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (OY). Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y=x$ перемещается в точку $(x_0, y_0 + 2)$. Исходные точки O(0, 0) и A(1, 1) сдвигаются в точки O'(0, 0 + 2) = (0, 2) и A'(1, 1 + 2) = (1, 3). Полученная прямая будет параллельна прямой $y=x$.

Ответ: График функции $y = x + 2$ — это прямая, проходящая через точки (0, 2) и (1, 3).

y = -4x – 1;

Получение этого графика из $y=x$ требует нескольких преобразований: растяжение, отражение и сдвиг. Проще и нагляднее построить его по двум точкам. Найдем координаты двух точек, принадлежащих этой прямой:

1. Если $x=0$, то $y = -4 \cdot 0 - 1 = -1$. Получаем точку (0, -1).

2. Если $x=-1$, то $y = -4 \cdot (-1) - 1 = 4 - 1 = 3$. Получаем точку (-1, 3).

Проводим прямую через найденные точки (0, -1) и (-1, 3).

Ответ: График функции $y = -4x - 1$ — это прямая, проходящая через точки (0, -1) и (-1, 3).

2.2. Постройте в одной координатной плоскости графики функций $y = -\frac{1}{x} + 1$; $y = -\frac{1}{x} + 1,5$; $y = \frac{1}{x+1} - 2$, используя график функции $y = \frac{1}{x}$.

Для построения заданных графиков мы будем использовать преобразования базового графика функции $y = \frac{1}{x}$. Этот график представляет собой гиперболу с ветвями в первой и третьей координатных четвертях. Его асимптотами являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.

$y = \frac{1}{x} + 1$

График этой функции получается из графика функции $y = \frac{1}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси $Oy$ на 1 единицу вверх. Это преобразование вида $f(x) \to f(x) + c$.

При этом сдвиге горизонтальная асимптота $y=0$ смещается на 1 единицу вверх и становится прямой $y=1$. Вертикальная асимптота $x=0$ остается без изменений. Все точки графика $y = \frac{1}{x}$ смещаются на 1 единицу вверх. Например, точка $(1, 1)$ переходит в точку $(1, 1+1)=(1, 2)$, а точка $(-1, -1)$ переходит в точку $(-1, -1+1)=(-1, 0)$. Ветви гиперболы располагаются так же, как и у исходной, но относительно новых асимптот.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x} + 1$ получается сдвигом графика $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$.

$y = -\frac{1}{x} + 1,5$

Построение этого графика из графика $y = \frac{1}{x}$ выполняется в два этапа:

1. Сначала выполним преобразование $y = -\frac{1}{x}$. Оно соответствует симметричному отражению графика $y = \frac{1}{x}$ относительно оси абсцисс ($Ox$). Ветви гиперболы, которые были в I и III четвертях, теперь будут располагаться во II и IV четвертях. Асимптоты $x=0$ и $y=0$ при этом не меняются.

2. Затем выполним преобразование $y = (-\frac{1}{x}) + 1,5$. Это сдвиг полученного на первом шаге графика на 1,5 единицы вверх вдоль оси ординат ($Oy$).

В результате этих преобразований вертикальная асимптота $x=0$ остается на месте, а горизонтальная асимптота $y=0$ сдвигается вверх на 1,5 и становится прямой $y=1,5$. Например, точка $(1, 1)$ с исходного графика сначала отражается в точку $(1, -1)$, а затем сдвигается в точку $(1, -1+1,5) = (1, 0,5)$.

Ответ: График функции $y = -\frac{1}{x} + 1,5$ получается отражением графика $y = \frac{1}{x}$ относительно оси $Ox$ с последующим сдвигом на 1,5 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

$y = \frac{1}{x+1} - 2$

Построение этого графика из графика $y = \frac{1}{x}$ также выполняется в два этапа:

1. Сначала выполним преобразование $y = \frac{1}{x+1}$. Это преобразование вида $f(x) \to f(x+c)$, которое соответствует параллельному переносу графика $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси абсцисс ($Ox$). При этом вертикальная асимптота $x=0$ смещается и становится прямой $x=-1$. Горизонтальная асимптота $y=0$ остается без изменений.

2. Затем выполним преобразование $y = (\frac{1}{x+1}) - 2$. Это сдвиг полученного на первом шаге графика на 2 единицы вниз вдоль оси ординат ($Oy$). При этом горизонтальная асимптота $y=0$ смещается и становится прямой $y=-2$. Вертикальная асимптота $x=-1$ не изменяется.

Таким образом, центр симметрии гиперболы из точки $(0,0)$ перемещается в точку $(-1, -2)$, а новыми асимптотами служат прямые $x=-1$ и $y=-2$. Например, точка $(1, 1)$ с исходного графика сначала сдвигается влево в точку $(1-1, 1)=(0, 1)$, а затем вниз в точку $(0, 1-2)=(0, -1)$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{x+1} - 2$ получается сдвигом графика $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу влево вдоль оси $Ox$ и на 2 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

2.3. Какой кривой является график функции:

а) $y = \sin \frac{\pi}{2} - 2x^2$;

б) $y = 2\cos0 + \frac{2}{x}$;

в) $y = 4\sin \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}x^3$;

г) $y = -\frac{x}{2} + \text{ctg}\frac{\pi}{4}$?

а) Рассмотрим функцию $y = \sin\frac{\pi}{2} - 2x^2$.

В этом выражении $\sin\frac{\pi}{2}$ является постоянной величиной (константой). Найдем ее значение: $\sin\frac{\pi}{2} = 1$.

Подставим это значение в исходную функцию:

$y = 1 - 2x^2$.

Мы получили функцию вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a=-2$, $b=0$, $c=1$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный, ветви параболы направлены вниз.

Ответ: парабола.

б) Рассмотрим функцию $y = 2\cos0 + \frac{2}{x}$.

В этом выражении $2\cos0$ является константой. Найдем ее значение: $\cos0 = 1$, следовательно $2\cos0 = 2 \cdot 1 = 2$.

Подставим это значение в исходную функцию:

$y = 2 + \frac{2}{x}$.

Мы получили функцию вида $y = \frac{k}{x} + c$, где $k=2$ и $c=2$. Это функция обратной пропорциональности, смещенная на 2 единицы вверх по оси Oy. Графиком такой функции является гипербола.

Ответ: гипербола.

в) Рассмотрим функцию $y = 4\sin\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}x^3$.

В этом выражении $4\sin\frac{\pi}{6}$ является константой. Найдем ее значение: $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, следовательно $4\sin\frac{\pi}{6} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$.

Подставим это значение в исходную функцию:

$y = 2 - \frac{1}{2}x^3$.

Мы получили функцию вида $y = ax^3+d$, где $a=-\frac{1}{2}$ и $d=2$. Это кубическая функция, графиком которой является кубическая парабола.

Ответ: кубическая парабола.

г) Рассмотрим функцию $y = -\frac{x}{2} + \operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}$.

В этом выражении $\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}$ является константой. Найдем ее значение: $\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4} = 1$.

Подставим это значение в исходную функцию:

$y = -\frac{x}{2} + 1$.

Мы получили функцию вида $y = kx + b$, где $k=-\frac{1}{2}$ и $b=1$. Это линейная функция, графиком которой является прямая.

Ответ: прямая.

2.4. Постройте в одной координатной плоскости графики следующих функций:

а) $y = -2x^2$;

б) $y = x^2 + \frac{1}{2}$;

в) $y = -x^2 + 5$;

г) $y = 3x^2$.

Для построения графиков данных функций в одной координатной плоскости, необходимо проанализировать каждую функцию, найти координаты вершины и нескольких точек для каждой параболы, а затем нанести их на общую систему координат.

а) $y = -2x^2$

Графиком функции является парабола. Коэффициент $a = -2 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Коэффициент при $x^2$ по модулю больше 1, значит, график "уже", чем график функции $y=-x^2$ (растянут вдоль оси $Oy$). Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.

Найдем несколько точек для построения графика:

Если $x = 0$, то $y = -2 \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.

Если $x = 1$, то $y = -2 \cdot 1^2 = -2$. Точка $(1, -2)$.

Если $x = -1$, то $y = -2 \cdot (-1)^2 = -2$. Точка $(-1, -2)$.

Если $x = 2$, то $y = -2 \cdot 2^2 = -8$. Точка $(2, -8)$.

Если $x = -2$, то $y = -2 \cdot (-2)^2 = -8$. Точка $(-2, -8)$.

Ответ: График функции $y = -2x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вниз. График растянут вдоль оси $Oy$ в 2 раза по сравнению с графиком $y = -x^2$.

б) $y = x^2 + \frac{1}{2}$

Графиком функции является парабола, полученная смещением графика $y = x^2$ на $\frac{1}{2}$ единицы вверх вдоль оси $Oy$. Коэффициент $a = 1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, \frac{1}{2})$.

Найдем несколько точек для построения графика:

Если $x = 0$, то $y = 0^2 + 0.5 = 0.5$. Точка $(0, 0.5)$.

Если $x = 1$, то $y = 1^2 + 0.5 = 1.5$. Точка $(1, 1.5)$.

Если $x = -1$, то $y = (-1)^2 + 0.5 = 1.5$. Точка $(-1, 1.5)$.

Если $x = 2$, то $y = 2^2 + 0.5 = 4.5$. Точка $(2, 4.5)$.

Если $x = -2$, то $y = (-2)^2 + 0.5 = 4.5$. Точка $(-2, 4.5)$.

Ответ: График функции $y = x^2 + \frac{1}{2}$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0.5)$, ветви которой направлены вверх.

в) $y = -x^2 + 5$

Графиком функции является парабола, полученная смещением графика $y = -x^2$ на 5 единиц вверх вдоль оси $Oy$. Коэффициент $a = -1 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 5)$.

Найдем несколько точек для построения графика:

Если $x = 0$, то $y = -0^2 + 5 = 5$. Точка $(0, 5)$.

Если $x = 1$, то $y = -1^2 + 5 = 4$. Точка $(1, 4)$.

Если $x = -1$, то $y = -(-1)^2 + 5 = 4$. Точка $(-1, 4)$.

Если $x = 2$, то $y = -2^2 + 5 = 1$. Точка $(2, 1)$.

Если $x = -2$, то $y = -(-2)^2 + 5 = 1$. Точка $(-2, 1)$.

Ответ: График функции $y = -x^2 + 5$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 5)$, ветви которой направлены вниз.

г) $y = 3x^2$

Графиком функции является парабола. Коэффициент $a = 3 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Коэффициент при $x^2$ по модулю больше 1, значит, график "уже", чем график функции $y=x^2$ (растянут вдоль оси $Oy$). Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.

Найдем несколько точек для построения графика:

Если $x = 0$, то $y = 3 \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.

Если $x = 1$, то $y = 3 \cdot 1^2 = 3$. Точка $(1, 3)$.

Если $x = -1$, то $y = 3 \cdot (-1)^2 = 3$. Точка $(-1, 3)$.

Если $x = 1.5$, то $y = 3 \cdot (1.5)^2 = 3 \cdot 2.25 = 6.75$. Точка $(1.5, 6.75)$.

Если $x = -1.5$, то $y = 3 \cdot (-1.5)^2 = 6.75$. Точка $(-1.5, 6.75)$.

Ответ: График функции $y = 3x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. График растянут вдоль оси $Oy$ в 3 раза по сравнению с графиком $y = x^2$.

Чтобы построить все графики в одной плоскости, следует начертить оси координат, выбрать подходящий масштаб (например, 1 клетка = 1 единица), отметить вычисленные точки для каждой функции и соединить их плавными кривыми, соответствующими параболам. Каждый график следует подписать.

2.5. Постройте в одной координатной плоскости графики следующих функций, используя график функции $y = \sqrt{x}$:

а) $y = 2\sqrt{x} - \frac{1}{4}$;

б) $y = \sqrt{x} + \frac{1}{2}$;

в) $y = 3\sqrt{x} - 1$.

Для построения графиков заданных функций необходимо использовать график базовой функции $y = \sqrt{x}$ и применить к нему соответствующие геометрические преобразования. График функции $y = \sqrt{x}$ представляет собой ветвь параболы, выходящую из начала координат $(0, 0)$ и проходящую через точки $(1, 1)$, $(4, 2)$, $(9, 3)$.

а) Для построения графика функции $y = 2\sqrt{x} - \frac{1}{4}$ необходимо выполнить следующие преобразования с графиком функции $y = \sqrt{x}$:

1. Растянуть график $y = \sqrt{x}$ вдоль оси OY в 2 раза. Это преобразование соответствует умножению функции на 2, в результате чего получается график функции $y = 2\sqrt{x}$. Каждая ордината точки графика умножается на 2. Например, точка $(1, 1)$ переходит в $(1, 2)$, а точка $(4, 2)$ — в $(4, 4)$. Начальная точка $(0, 0)$ остается на месте.

2. Сдвинуть полученный график $y = 2\sqrt{x}$ на $\frac{1}{4}$ единицы вниз вдоль оси OY. Это преобразование соответствует вычитанию константы $\frac{1}{4}$. При этом каждая ордината точки графика уменьшается на $\frac{1}{4}$. Начальная точка графика из $(0, 0)$ перемещается в точку $(0, -\frac{1}{4})$. Другие контрольные точки: $(1, 2)$ переходит в $(1, 2 - \frac{1}{4}) = (1, \frac{7}{4})$, а $(4, 4)$ — в $(4, 4 - \frac{1}{4}) = (4, \frac{15}{4})$.

Ответ: График функции $y = 2\sqrt{x} - \frac{1}{4}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем растяжения вдоль оси OY в 2 раза и последующего сдвига вниз на $\frac{1}{4}$ единицы.

б) Для построения графика функции $y = \sqrt{x + \frac{1}{2}}$ необходимо выполнить одно преобразование с графиком функции $y = \sqrt{x}$.

Это преобразование является параллельным переносом (сдвигом) графика $y = \sqrt{x}$ вдоль оси OX влево на $\frac{1}{2}$ единицы, так как к аргументу $x$ прибавляется положительная константа.

Ключевые точки графика $y = \sqrt{x}$ смещаются влево на $\frac{1}{2}$:

* Начальная точка $(0, 0)$ переходит в точку $(-\frac{1}{2}, 0)$.

* Точка $(1, 1)$ переходит в точку $(1 - \frac{1}{2}, 1) = (\frac{1}{2}, 1)$.

* Точка $(4, 2)$ переходит в точку $(4 - \frac{1}{2}, 2) = (3\frac{1}{2}, 2)$.

Область определения функции изменяется с $x \geq 0$ на $x + \frac{1}{2} \geq 0$, то есть $x \geq -\frac{1}{2}$.

Ответ: График функции $y = \sqrt{x + \frac{1}{2}}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом влево вдоль оси OX на $\frac{1}{2}$ единицы.

в) График функции $y = 3\sqrt{x - 1}$ строится на основе графика $y=\sqrt{x}$ путем выполнения двух последовательных преобразований:

1. Сначала выполним параллельный перенос графика $y = \sqrt{x}$ вдоль оси OX на 1 единицу вправо. Это соответствует замене аргумента $x$ на $x-1$. Получим график промежуточной функции $y = \sqrt{x-1}$. Начальная точка $(0, 0)$ сместится в $(1, 0)$. Область определения станет $x \geq 1$.

2. Затем выполним растяжение полученного графика $y = \sqrt{x-1}$ вдоль оси OY в 3 раза. Получим искомый график $y = 3\sqrt{x-1}$. Координаты ключевых точек после двух преобразований:

* $(0, 0) \rightarrow (1, 0) \rightarrow (1, 3 \cdot 0) = (1, 0)$.

* $(1, 1) \rightarrow (1+1, 1) = (2, 1) \rightarrow (2, 3 \cdot 1) = (2, 3)$.

* $(4, 2) \rightarrow (4+1, 2) = (5, 2) \rightarrow (5, 3 \cdot 2) = (5, 6)$.

Начало искомого графика находится в точке $(1, 0)$.

Ответ: График функции $y = 3\sqrt{x-1}$ получается из графика $y=\sqrt{x}$ сдвигом вправо на 1 единицу и последующим растяжением вдоль оси OY в 3 раза.

2.6. Какие преобразования необходимо выполнить, чтобы получить график функции:
а) $y = 2(3 + x)^2 - 5$;
б) $y = -2(x - 1)^2 + 4$ при помощи графика функции $y = x^2$? Постройте график.

а) $y = 2(3 + x)^2 - 5$

Чтобы получить график функции $y = 2(3 + x)^2 - 5$ из графика базовой параболы $y = x^2$, необходимо выполнить последовательность геометрических преобразований. Сначала приведем уравнение к стандартному виду параболы $y = a(x - h)^2 + k$:

$y = 2(x - (-3))^2 - 5$

Из этого вида мы можем определить параметры преобразований: $a = 2$, $h = -3$, $k = -5$.

Преобразования выполняются в следующем порядке:

1. Сдвиг по горизонтали: График функции $y = x^2$ сдвигается на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Этот сдвиг определяется значением $h = -3$. Получаем промежуточную функцию $y = (x+3)^2$. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-3, 0)$.

2. Вертикальное растяжение: Полученный график растягивается от оси Ox в 2 раза (вдоль оси Oy). Это определяется коэффициентом $a=2$. Так как $|a| > 1$, происходит растяжение, а так как $a > 0$, ветви параболы по-прежнему направлены вверх. Получаем функцию $y = 2(x+3)^2$.

3. Сдвиг по вертикали: График, полученный на предыдущем шаге, сдвигается на 5 единиц вниз вдоль оси Oy. Этот сдвиг определяется значением $k = -5$. Вершина параболы перемещается из $(-3, 0)$ в итоговую позицию $(-3, -5)$.

Построение графика:

- Вершина параболы находится в точке $(-3, -5)$.

- Ось симметрии — вертикальная прямая $x = -3$.

- Ветви параболы направлены вверх ($a=2>0$).

- Найдем несколько точек для построения:

При $x = -2$: $y = 2(-2 + 3)^2 - 5 = 2 \cdot 1^2 - 5 = -3$. Точка $(-2, -3)$.

Симметричная ей точка относительно оси $x = -3$ — это $(-4, -3)$.

При $x = -1$: $y = 2(-1 + 3)^2 - 5 = 2 \cdot 2^2 - 5 = 8 - 5 = 3$. Точка $(-1, 3)$.

Симметричная ей точка — это $(-5, 3)$.

Точка пересечения с осью Oy (когда $x=0$): $y = 2(0+3)^2-5 = 18 - 5 = 13$. Точка $(0, 13)$.

График функции $y = 2(x+3)^2 - 5$:

Ответ: Необходимо выполнить сдвиг графика $y=x^2$ на 3 единицы влево, затем растяжение вдоль оси Oy в 2 раза, и после этого сдвиг на 5 единиц вниз.

б) $y = -2(x - 1)^2 + 4$

Для получения графика функции $y = -2(x - 1)^2 + 4$ из графика $y = x^2$ также применяется последовательность преобразований. Уравнение уже представлено в стандартном виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $a = -2$, $h = 1$, $k = 4$.

Преобразования выполняются в следующем порядке:

1. Сдвиг по горизонтали: График функции $y = x^2$ сдвигается на 1 единицу вправо вдоль оси Ox ($h = 1$). Получаем функцию $y = (x-1)^2$. Вершина перемещается в точку $(1, 0)$.

2. Отражение и вертикальное растяжение: Полученный график умножается на коэффициент $a=-2$. Знак "минус" отражает параболу симметрично относительно оси Ox, так что ее ветви теперь направлены вниз. Множитель 2 растягивает график по вертикали в 2 раза. Получаем функцию $y = -2(x-1)^2$.

3. Сдвиг по вертикали: График сдвигается на 4 единицы вверх вдоль оси Oy ($k = 4$). Вершина параболы перемещается из $(1, 0)$ в итоговую точку $(1, 4)$.

Построение графика:

- Вершина параболы находится в точке $(1, 4)$.

- Ось симметрии — прямая $x = 1$.

- Ветви параболы направлены вниз ($a=-2<0$).

- Найдем несколько точек для построения:

Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $y = -2(0 - 1)^2 + 4 = -2 + 4 = 2$. Точка $(0, 2)$.

Симметричная ей точка относительно оси $x = 1$ — это $(2, 2)$.

При $x = 3$: $y = -2(3 - 1)^2 + 4 = -2 \cdot 2^2 + 4 = -8 + 4 = -4$. Точка $(3, -4)$.

Симметричная ей точка — это $(-1, -4)$.

Точки пересечения с осью Ox (при $y=0$): $0 = -2(x-1)^2 + 4 \implies (x-1)^2 = 2 \implies x = 1 \pm \sqrt{2}$. Точки $(1-\sqrt{2}, 0)$ и $(1+\sqrt{2}, 0)$.

График функции $y = -2(x - 1)^2 + 4$:

Ответ: Необходимо выполнить сдвиг графика $y=x^2$ на 1 единицу вправо, затем отразить его относительно оси Ox и растянуть вдоль оси Oy в 2 раза, и после этого сдвинуть на 4 единицы вверх.

2.7. Используя график функции $y = x^3$, постройте график функции

$y = f(x):$

a) $f(x) = x^3 + 4;$

б) $f(x) = -x^3 - 3;$

в) $f(x) = -2x^3 + 1;$

г) $f(x) = 2(x-1)^3 - 5.$

а) $f(x) = x^3 + 4;$

Для построения графика функции $f(x) = x^3 + 4$, мы используем график базовой функции $y = x^3$. Данное преобразование представляет собой сдвиг графика вверх.

1. Исходный график — это кубическая парабола $y = x^3$, проходящая через начало координат $(0,0)$, а также через точки $(1,1)$ и $(-1,-1)$.

2. Прибавление константы 4 к функции, то есть $x^3 \rightarrow x^3 + 4$, означает параллельный перенос (сдвиг) всего графика вдоль оси ординат ($Oy$) на 4 единицы вверх.

Таким образом, каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y=x^3$ переместится в точку $(x_0, y_0+4)$. Центр симметрии графика сместится из точки $(0,0)$ в точку $(0,4)$.

Ответ: График функции $f(x) = x^3 + 4$ получается путем сдвига графика функции $y=x^3$ на 4 единицы вверх вдоль оси $Oy$.

б) $f(x) = -x^3 - 3;$

Для построения графика функции $f(x) = -x^3 - 3$ из графика $y = x^3$ нужно выполнить два последовательных преобразования.

1. Сначала преобразуем $y = x^3$ в $y = -x^3$. Умножение функции на -1 соответствует симметричному отражению ее графика относительно оси абсцисс ($Ox$). Точка $(1,1)$ перейдет в $(1,-1)$, а точка $(-1,-1)$ перейдет в $(-1,1)$. График теперь будет убывающим.

2. Затем преобразуем $y = -x^3$ в $y = -x^3 - 3$. Вычитание константы 3 означает сдвиг графика, полученного на предыдущем шаге, на 3 единицы вниз вдоль оси ординат ($Oy$).

Центр симметрии из $(0,0)$ после отражения остается на месте, а после сдвига перемещается в точку $(0,-3)$.

Ответ: График функции $f(x) = -x^3 - 3$ получается путем отражения графика функции $y=x^3$ относительно оси $Ox$ и последующего сдвига полученного графика на 3 единицы вниз вдоль оси $Oy$.

в) $f(x) = -2x^3 + 1;$

Для построения графика функции $f(x) = -2x^3 + 1$ из графика $y = x^3$ нужно выполнить три последовательных преобразования.

1. Преобразование $y = x^3 \rightarrow y = 2x^3$. Умножение на коэффициент 2, который больше 1, означает растяжение графика вдоль оси ординат ($Oy$) в 2 раза. Точка $(1,1)$ перейдет в $(1,2)$, а $(-1,-1)$ в $(-1,-2)$.

2. Преобразование $y = 2x^3 \rightarrow y = -2x^3$. Умножение на -1 означает отражение графика $y=2x^3$ относительно оси абсцисс ($Ox$).

3. Преобразование $y = -2x^3 \rightarrow y = -2x^3 + 1$. Прибавление 1 означает сдвиг полученного графика на 1 единицу вверх вдоль оси ординат ($Oy$).

Центр симметрии $(0,0)$ при растяжении и отражении не меняет своего положения, а при сдвиге перемещается в точку $(0,1)$.

Ответ: График функции $f(x) = -2x^3 + 1$ получается путем растяжения графика $y=x^3$ в 2 раза вдоль оси $Oy$, последующего отражения относительно оси $Ox$ и сдвига на 1 единицу вверх.

г) $f(x) = 2(x - 1)^3 - 5.$

Для построения графика функции $f(x) = 2(x-1)^3 - 5$ из графика $y = x^3$ нужно выполнить три последовательных преобразования.

1. Преобразование $y = x^3 \rightarrow y = (x-1)^3$. Замена $x$ на $(x-1)$ означает сдвиг графика на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс ($Ox$). Центр симметрии смещается из $(0,0)$ в $(1,0)$.

2. Преобразование $y = (x-1)^3 \rightarrow y = 2(x-1)^3$. Умножение на коэффициент 2 означает растяжение сдвинутого графика вдоль оси ординат ($Oy$) в 2 раза.

3. Преобразование $y = 2(x-1)^3 \rightarrow y = 2(x-1)^3 - 5$. Вычитание 5 означает сдвиг полученного на втором шаге графика на 5 единиц вниз вдоль оси ординат ($Oy$).

В результате всех преобразований центр симметрии из $(0,0)$ смещается в точку $(1, -5)$.

Ответ: График функции $f(x) = 2(x - 1)^3 - 5$ получается путем сдвига графика $y=x^3$ на 1 единицу вправо, затем растяжения в 2 раза вдоль оси $Oy$ и последующего сдвига на 5 единиц вниз.

2.8. С помощью графика определите, пересекаются ли графики функций:

а) $y = x^2 - 2x$ и $y = -1;$

б) $y = x^2 - 5x + 4$ и $y = -\frac{3}{x}?$

а) Чтобы определить, пересекаются ли графики функций $y = x^2 - 2x$ и $y = -1$, построим их эскизы.

График функции $y = x^2 - 2x$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты ее вершины. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:$x_v = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

Подставим $x_v=1$ в уравнение параболы, чтобы найти ординату вершины:$y_v = 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1, -1)$. Эта точка является точкой минимума функции.

График функции $y = -1$ — это горизонтальная прямая, проходящая через все точки с ординатой, равной $-1$.

Поскольку вершина параболы, точка $(1, -1)$, лежит на прямой $y = -1$, графики данных функций имеют одну общую точку. Следовательно, они пересекаются.

Ответ: да, пересекаются.

б) Чтобы определить, пересекаются ли графики функций $y = x^2 - 5x + 4$ и $y = -\frac{3}{x}$, построим их эскизы в одной системе координат.

1. График функции $y = x^2 - 5x + 4$ — это парабола, ветви которой направлены вверх.

- Найдем вершину параболы: $x_v = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = 2.5$. $y_v = (2.5)^2 - 5(2.5) + 4 = 6.25 - 12.5 + 4 = -2.25$. Вершина — точка $(2.5, -2.25)$.

- Найдем точки пересечения с осью абсцисс (Ох), решив уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$. Точки пересечения с осью Ох — $(1, 0)$ и $(4, 0)$.

2. График функции $y = -\frac{3}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.

3. Сопоставим графики на координатной плоскости.

- Во II четверти (где $x < 0$): ветвь параболы проходит выше оси Ох (например, в точке $x=-1$, $y = 1+5+4=10$). Ветвь гиперболы также находится в этой четверти (в точке $x=-1$, $y=3$). При $x \to 0^-$ ветвь гиперболы уходит на $+\infty$, а ветвь параболы стремится к точке $(0, 4)$. При $x \to -\infty$ ветвь параболы уходит на $+\infty$, а ветвь гиперболы стремится к $0$. Из такого расположения следует, что графики обязательно пересекутся в этой четверти.

- В IV четверти (где $x > 0$): ветвь гиперболы целиком лежит ниже оси Ох. Парабола на интервале $(1, 4)$ также находится ниже оси Ох, опускаясь до минимума в точке $(2.5, -2.25)$. В точке $x=1$ парабола находится на оси ($y=0$), а гипербола ниже ($y=-3$). В точке $x=4$ парабола снова на оси ($y=0$), а гипербола все еще ниже ($y=-0.75$). Между этими точками, например, при $x=2.5$, парабола достигает своего минимума $y=-2.25$, в то время как гипербола имеет значение $y = -3/2.5 = -1.2$. Так как в одних точках парабола ниже гиперболы, а в других — выше, их графики пересекаются, и судя по форме, делают это дважды на данном участке.

Таким образом, графики имеют общие точки пересечения.

Ответ: да, пересекаются.

2.9. Графическим способом найдите количество корней уравнения:

a) $x^2 = \frac{1}{x}$;

б) $x^2 - 1 = \sqrt{x}$.

а) $x^2 = \frac{1}{x}$

Для того чтобы графически найти количество корней уравнения, необходимо построить графики двух функций в одной системе координат: $y = x^2$ и $y = \frac{1}{x}$. Количество точек пересечения этих графиков будет равно количеству корней исходного уравнения.

1. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх. График расположен в I и II координатных четвертях.

2. График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами для этой гиперболы.

Проанализируем возможное пересечение графиков. В III и II четвертях ($x < 0$), значения функции $y = x^2$ положительны ($y > 0$), а значения функции $y = \frac{1}{x}$ — отрицательны. Следовательно, в этих четвертях пересечений нет. Пересечение возможно только в I четверти, где $x > 0$ и обе функции принимают положительные значения.

Построив эскизы графиков в первой четверти, мы видим, что они пересекаются. Можно заметить, что при $x = 1$, значение первой функции $y = 1^2 = 1$, и значение второй функции $y = \frac{1}{1} = 1$. Таким образом, точка (1, 1) является точкой пересечения. При $x > 1$ парабола $y=x^2$ растет быстрее, чем убывает гипербола $y=1/x$, а при $0 < x < 1$ парабола находится ниже гиперболы. Это говорит о том, что точка пересечения единственная.

Ответ: 1 корень.

б) $x^2 - 1 = \sqrt{x}$

Рассмотрим две функции: $y = x^2 - 1$ и $y = \sqrt{x}$. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения их графиков.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$. Следовательно, мы будем рассматривать графики только для неотрицательных значений $x$.

1. График функции $y = x^2 - 1$ — это парабола, полученная сдвигом параболы $y = x^2$ на 1 единицу вниз по оси Oy. Её вершина находится в точке (0, -1). Мы рассматриваем ее правую ветвь, которая проходит через точки (0, -1), (1, 0), (2, 3).

2. График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox ($x=y^2$). График начинается в точке (0, 0) и проходит через точки (1, 1), (4, 2).

Построим эскизы графиков в одной системе координат для $x \ge 0$. При $x=1$ парабола находится в точке (1, 0), а график корня — в точке (1, 1), то есть парабола ниже. Однако, функция $y = x^2 - 1$ растет намного быстрее, чем $y = \sqrt{x}$. Например, при $x=2$, $y=2^2-1=3$, а $y=\sqrt{2} \approx 1.41$. Уже при $x=2$ парабола находится выше графика корня. Так как обе функции непрерывны, они должны пересечься в некоторой точке на интервале $(1, 2)$. Поскольку скорость роста параболы для $x>1$ всегда больше скорости роста функции корня, то после пересечения парабола всегда будет находиться выше, и других точек пересечения не будет. Таким образом, графики пересекаются ровно в одной точке.

Ответ: 1 корень.