Номер 2.6, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

2.6. Какие преобразования необходимо выполнить, чтобы получить график функции:
а) $y = 2(3 + x)^2 - 5$;
б) $y = -2(x - 1)^2 + 4$ при помощи графика функции $y = x^2$? Постройте график.

а) $y = 2(3 + x)^2 - 5$

Чтобы получить график функции $y = 2(3 + x)^2 - 5$ из графика базовой параболы $y = x^2$, необходимо выполнить последовательность геометрических преобразований. Сначала приведем уравнение к стандартному виду параболы $y = a(x - h)^2 + k$:

$y = 2(x - (-3))^2 - 5$

Из этого вида мы можем определить параметры преобразований: $a = 2$, $h = -3$, $k = -5$.

Преобразования выполняются в следующем порядке:

1. Сдвиг по горизонтали: График функции $y = x^2$ сдвигается на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Этот сдвиг определяется значением $h = -3$. Получаем промежуточную функцию $y = (x+3)^2$. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-3, 0)$.

2. Вертикальное растяжение: Полученный график растягивается от оси Ox в 2 раза (вдоль оси Oy). Это определяется коэффициентом $a=2$. Так как $|a| > 1$, происходит растяжение, а так как $a > 0$, ветви параболы по-прежнему направлены вверх. Получаем функцию $y = 2(x+3)^2$.

3. Сдвиг по вертикали: График, полученный на предыдущем шаге, сдвигается на 5 единиц вниз вдоль оси Oy. Этот сдвиг определяется значением $k = -5$. Вершина параболы перемещается из $(-3, 0)$ в итоговую позицию $(-3, -5)$.

Построение графика:

- Вершина параболы находится в точке $(-3, -5)$.

- Ось симметрии — вертикальная прямая $x = -3$.

- Ветви параболы направлены вверх ($a=2>0$).

- Найдем несколько точек для построения:

При $x = -2$: $y = 2(-2 + 3)^2 - 5 = 2 \cdot 1^2 - 5 = -3$. Точка $(-2, -3)$.

Симметричная ей точка относительно оси $x = -3$ — это $(-4, -3)$.

При $x = -1$: $y = 2(-1 + 3)^2 - 5 = 2 \cdot 2^2 - 5 = 8 - 5 = 3$. Точка $(-1, 3)$.

Симметричная ей точка — это $(-5, 3)$.

Точка пересечения с осью Oy (когда $x=0$): $y = 2(0+3)^2-5 = 18 - 5 = 13$. Точка $(0, 13)$.

График функции $y = 2(x+3)^2 - 5$:

Ответ: Необходимо выполнить сдвиг графика $y=x^2$ на 3 единицы влево, затем растяжение вдоль оси Oy в 2 раза, и после этого сдвиг на 5 единиц вниз.

б) $y = -2(x - 1)^2 + 4$

Для получения графика функции $y = -2(x - 1)^2 + 4$ из графика $y = x^2$ также применяется последовательность преобразований. Уравнение уже представлено в стандартном виде $y = a(x - h)^2 + k$, где $a = -2$, $h = 1$, $k = 4$.

Преобразования выполняются в следующем порядке:

1. Сдвиг по горизонтали: График функции $y = x^2$ сдвигается на 1 единицу вправо вдоль оси Ox ($h = 1$). Получаем функцию $y = (x-1)^2$. Вершина перемещается в точку $(1, 0)$.

2. Отражение и вертикальное растяжение: Полученный график умножается на коэффициент $a=-2$. Знак "минус" отражает параболу симметрично относительно оси Ox, так что ее ветви теперь направлены вниз. Множитель 2 растягивает график по вертикали в 2 раза. Получаем функцию $y = -2(x-1)^2$.

3. Сдвиг по вертикали: График сдвигается на 4 единицы вверх вдоль оси Oy ($k = 4$). Вершина параболы перемещается из $(1, 0)$ в итоговую точку $(1, 4)$.

Построение графика:

- Вершина параболы находится в точке $(1, 4)$.

- Ось симметрии — прямая $x = 1$.

- Ветви параболы направлены вниз ($a=-2<0$).

- Найдем несколько точек для построения:

Точка пересечения с осью Oy (при $x=0$): $y = -2(0 - 1)^2 + 4 = -2 + 4 = 2$. Точка $(0, 2)$.

Симметричная ей точка относительно оси $x = 1$ — это $(2, 2)$.

При $x = 3$: $y = -2(3 - 1)^2 + 4 = -2 \cdot 2^2 + 4 = -8 + 4 = -4$. Точка $(3, -4)$.

Симметричная ей точка — это $(-1, -4)$.

Точки пересечения с осью Ox (при $y=0$): $0 = -2(x-1)^2 + 4 \implies (x-1)^2 = 2 \implies x = 1 \pm \sqrt{2}$. Точки $(1-\sqrt{2}, 0)$ и $(1+\sqrt{2}, 0)$.

График функции $y = -2(x - 1)^2 + 4$:

Ответ: Необходимо выполнить сдвиг графика $y=x^2$ на 1 единицу вправо, затем отразить его относительно оси Ox и растянуть вдоль оси Oy в 2 раза, и после этого сдвинуть на 4 единицы вверх.