Вопросы, страница 24 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Если областью определения четной функции является отрезок $[a; b]$, то что можно сказать о числах $a$ и $b$?

2. Существует ли нечетная функция, принимающая только положительные значения? Ответ поясните.

3. Если функция $y = f(x)$ на множестве действительных чисел возрастает, то функция $y = -f(x)$ будет возрастающей или убывающей?

4. Что означает понятие периодичность функции?

5. Как определить промежутки знакопостоянства функции?

1. По определению, область определения $D(f)$ четной функции $y=f(x)$ должна быть симметрична относительно начала координат. Это означает, что если точка $x$ принадлежит области определения, то и точка $-x$ также должна ей принадлежать. Для отрезка $[a; b]$ это условие выполняется только в том случае, если он симметричен относительно нуля. Следовательно, концы отрезка должны быть противоположными числами.

Ответ: $a = -b$.

2. Нет, такая функция не существует. По определению нечетной функции $y=f(x)$, для любого $x$ из ее области определения должно выполняться равенство $f(-x) = -f(x)$. Предположим, что существует нечетная функция, которая принимает только положительные значения, то есть $f(x) > 0$ для всех $x$ из области определения $D(f)$. Возьмем любое $x \in D(f)$, $x \ne 0$. Тогда $-x$ также принадлежит $D(f)$. По нашему предположению, $f(x) > 0$. Но тогда $f(-x) = -f(x)$ будет меньше нуля, то есть $f(-x) < 0$. Это противоречит предположению, что функция принимает только положительные значения. Если же $0 \in D(f)$, то $f(-0)=-f(0)$, откуда $f(0)=0$, что не является положительным значением.

Ответ: Нет, не существует.

3. Если функция $y = f(x)$ возрастает на множестве действительных чисел, это означает, что для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ из этого множества, таких что $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $f(x_2) > f(x_1)$.

Рассмотрим функцию $g(x) = -f(x)$. Возьмем те же $x_1$ и $x_2$, где $x_2 > x_1$. Так как $f(x_2) > f(x_1)$, то, умножив обе части этого неравенства на $-1$, мы сменим знак неравенства на противоположный: $-f(x_2) < -f(x_1)$.

Это означает, что $g(x_2) < g(x_1)$.

По определению, если для любых $x_2 > x_1$ выполняется $g(x_2) < g(x_1)$, то функция является убывающей.

Ответ: Убывающей.

4. Функция $y = f(x)$ называется периодической, если существует такое отличное от нуля число $T$, называемое периодом, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x+T) = f(x)$. Это означает, что значения функции циклически повторяются через каждый интервал длиной $T$. Наименьшее положительное такое число $T$ называют основным периодом функции.

Ответ: Периодичность функции означает, что существует такое ненулевое число $T$ (период), что для любого $x$ из области определения функции значение $f(x+T)$ равно значению $f(x)$.

5. Промежутки знакопостоянства функции — это такие интервалы из области определения, на которых функция сохраняет свой знак (то есть либо $f(x) > 0$ на всем интервале, либо $f(x) < 0$ на всем интервале).

Чтобы их определить, необходимо:

1. Найти область определения функции $D(f)$.

2. Найти нули функции, то есть решить уравнение $f(x) = 0$.

3. Найти точки, в которых функция не существует (точки разрыва).

4. Нанести нули функции и точки разрыва на числовую ось. Эти точки разобьют область определения на интервалы.

5. Взять любую "пробную" точку из каждого полученного интервала и определить знак значения функции в этой точке. Так как на каждом из этих интервалов функция непрерывна и не обращается в ноль, она сохраняет на нем знак. Знак, полученный в пробной точке, и будет знаком функции на всем интервале.

Ответ: Чтобы определить промежутки знакопостоянства, нужно найти нули функции и ее точки разрыва, нанести их на числовую ось и определить знак функции на каждом из получившихся интервалов, подставив в функцию любое значение из этого интервала.