Номер 3.2, страница 24 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.2. Является ли нечетной функция:

a) $f(x) = 2x^5 - 4x^3 + 1;$

б) $f(x) = \sin x - 2x^3;$

в) $f(x) = \frac{1}{4}x^3 \cdot \operatorname{ctg}x^2;$

г) $f(x) = 2x|x| - 3x - 1?$

Функция $f(x)$ является нечетной, если для любого значения $x$ из ее области определения $D(f)$ выполняются два условия:

1. Область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат (т.е. если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).

2. Для любого $x$ из $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

а) Для функции $f(x) = 2x^5 - 4x^3 + 1$ проверим выполнение условия нечетности. Область определения функции $D(f) = \mathbb{R}$ (все действительные числа) является симметричной.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = 2(-x)^5 - 4(-x)^3 + 1 = -2x^5 + 4x^3 + 1$.

Найдем выражение для $-f(x)$: $-f(x) = -(2x^5 - 4x^3 + 1) = -2x^5 + 4x^3 - 1$.

Так как $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является нечетной. Она является функцией общего вида.

Ответ: нет.

б) Для функции $f(x) = \sin x - 2x^3$ проверим условие нечетности. Область определения $D(f) = \mathbb{R}$ является симметричной.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \sin(-x) - 2(-x)^3$.

Используя свойства нечетности синуса ($\sin(-x) = -\sin x$) и степенной функции с нечетным показателем ($(-x)^3 = -x^3$), получаем: $f(-x) = -\sin x - 2(-x^3) = -\sin x + 2x^3$.

Найдем выражение для $-f(x)$: $-f(x) = -(\sin x - 2x^3) = -\sin x + 2x^3$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: да.

в) Для функции $f(x) = \frac{1}{4}x^3 \cdot \operatorname{ctg}x^2$ (где $\operatorname{ctg}x^2 = \operatorname{ctg}(x^2)$) проверим условие нечетности. Область определения функции задается условием $\sin(x^2) \neq 0$, то есть $x^2 \neq k\pi$ для $k \in \{0, 1, 2, ...\}$. Значит, $x \neq \pm \sqrt{k\pi}$. Эта область определения симметрична относительно нуля.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = \frac{1}{4}(-x)^3 \cdot \operatorname{ctg}((-x)^2) = \frac{1}{4}(-x^3) \cdot \operatorname{ctg}(x^2) = -\frac{1}{4}x^3 \operatorname{ctg}(x^2)$.

Найдем выражение для $-f(x)$: $-f(x) = -\left(\frac{1}{4}x^3 \cdot \operatorname{ctg}(x^2)\right) = -\frac{1}{4}x^3 \operatorname{ctg}(x^2)$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной.

Ответ: да.

г) Для функции $f(x) = 2x|x| - 3x - 1$ проверим условие нечетности. Область определения $D(f) = \mathbb{R}$ является симметричной.

Найдем $f(-x)$: $f(-x) = 2(-x)|-x| - 3(-x) - 1$.

Так как $|-x|=|x|$, получаем: $f(-x) = -2x|x| + 3x - 1$.

Найдем выражение для $-f(x)$: $-f(x) = -(2x|x| - 3x - 1) = -2x|x| + 3x + 1$.

Так как $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является нечетной. Она является функцией общего вида.

Ответ: нет.