Номер 2.9, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

2.9. Графическим способом найдите количество корней уравнения:

a) $x^2 = \frac{1}{x}$;

б) $x^2 - 1 = \sqrt{x}$.

а) $x^2 = \frac{1}{x}$

Для того чтобы графически найти количество корней уравнения, необходимо построить графики двух функций в одной системе координат: $y = x^2$ и $y = \frac{1}{x}$. Количество точек пересечения этих графиков будет равно количеству корней исходного уравнения.

1. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх. График расположен в I и II координатных четвертях.

2. График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами для этой гиперболы.

Проанализируем возможное пересечение графиков. В III и II четвертях ($x < 0$), значения функции $y = x^2$ положительны ($y > 0$), а значения функции $y = \frac{1}{x}$ — отрицательны. Следовательно, в этих четвертях пересечений нет. Пересечение возможно только в I четверти, где $x > 0$ и обе функции принимают положительные значения.

Построив эскизы графиков в первой четверти, мы видим, что они пересекаются. Можно заметить, что при $x = 1$, значение первой функции $y = 1^2 = 1$, и значение второй функции $y = \frac{1}{1} = 1$. Таким образом, точка (1, 1) является точкой пересечения. При $x > 1$ парабола $y=x^2$ растет быстрее, чем убывает гипербола $y=1/x$, а при $0 < x < 1$ парабола находится ниже гиперболы. Это говорит о том, что точка пересечения единственная.

Ответ: 1 корень.

б) $x^2 - 1 = \sqrt{x}$

Рассмотрим две функции: $y = x^2 - 1$ и $y = \sqrt{x}$. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения их графиков.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$. Следовательно, мы будем рассматривать графики только для неотрицательных значений $x$.

1. График функции $y = x^2 - 1$ — это парабола, полученная сдвигом параболы $y = x^2$ на 1 единицу вниз по оси Oy. Её вершина находится в точке (0, -1). Мы рассматриваем ее правую ветвь, которая проходит через точки (0, -1), (1, 0), (2, 3).

2. График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox ($x=y^2$). График начинается в точке (0, 0) и проходит через точки (1, 1), (4, 2).

Построим эскизы графиков в одной системе координат для $x \ge 0$. При $x=1$ парабола находится в точке (1, 0), а график корня — в точке (1, 1), то есть парабола ниже. Однако, функция $y = x^2 - 1$ растет намного быстрее, чем $y = \sqrt{x}$. Например, при $x=2$, $y=2^2-1=3$, а $y=\sqrt{2} \approx 1.41$. Уже при $x=2$ парабола находится выше графика корня. Так как обе функции непрерывны, они должны пересечься в некоторой точке на интервале $(1, 2)$. Поскольку скорость роста параболы для $x>1$ всегда больше скорости роста функции корня, то после пересечения парабола всегда будет находиться выше, и других точек пересечения не будет. Таким образом, графики пересекаются ровно в одной точке.

Ответ: 1 корень.