Номер 2.4, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

2.4. Постройте в одной координатной плоскости графики следующих функций:

а) $y = -2x^2$;

б) $y = x^2 + \frac{1}{2}$;

в) $y = -x^2 + 5$;

г) $y = 3x^2$.

Для построения графиков данных функций в одной координатной плоскости, необходимо проанализировать каждую функцию, найти координаты вершины и нескольких точек для каждой параболы, а затем нанести их на общую систему координат.

а) $y = -2x^2$

Графиком функции является парабола. Коэффициент $a = -2 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Коэффициент при $x^2$ по модулю больше 1, значит, график "уже", чем график функции $y=-x^2$ (растянут вдоль оси $Oy$). Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.

Найдем несколько точек для построения графика:

Если $x = 0$, то $y = -2 \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.

Если $x = 1$, то $y = -2 \cdot 1^2 = -2$. Точка $(1, -2)$.

Если $x = -1$, то $y = -2 \cdot (-1)^2 = -2$. Точка $(-1, -2)$.

Если $x = 2$, то $y = -2 \cdot 2^2 = -8$. Точка $(2, -8)$.

Если $x = -2$, то $y = -2 \cdot (-2)^2 = -8$. Точка $(-2, -8)$.

Ответ: График функции $y = -2x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вниз. График растянут вдоль оси $Oy$ в 2 раза по сравнению с графиком $y = -x^2$.

б) $y = x^2 + \frac{1}{2}$

Графиком функции является парабола, полученная смещением графика $y = x^2$ на $\frac{1}{2}$ единицы вверх вдоль оси $Oy$. Коэффициент $a = 1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, \frac{1}{2})$.

Найдем несколько точек для построения графика:

Если $x = 0$, то $y = 0^2 + 0.5 = 0.5$. Точка $(0, 0.5)$.

Если $x = 1$, то $y = 1^2 + 0.5 = 1.5$. Точка $(1, 1.5)$.

Если $x = -1$, то $y = (-1)^2 + 0.5 = 1.5$. Точка $(-1, 1.5)$.

Если $x = 2$, то $y = 2^2 + 0.5 = 4.5$. Точка $(2, 4.5)$.

Если $x = -2$, то $y = (-2)^2 + 0.5 = 4.5$. Точка $(-2, 4.5)$.

Ответ: График функции $y = x^2 + \frac{1}{2}$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0.5)$, ветви которой направлены вверх.

в) $y = -x^2 + 5$

Графиком функции является парабола, полученная смещением графика $y = -x^2$ на 5 единиц вверх вдоль оси $Oy$. Коэффициент $a = -1 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 5)$.

Найдем несколько точек для построения графика:

Если $x = 0$, то $y = -0^2 + 5 = 5$. Точка $(0, 5)$.

Если $x = 1$, то $y = -1^2 + 5 = 4$. Точка $(1, 4)$.

Если $x = -1$, то $y = -(-1)^2 + 5 = 4$. Точка $(-1, 4)$.

Если $x = 2$, то $y = -2^2 + 5 = 1$. Точка $(2, 1)$.

Если $x = -2$, то $y = -(-2)^2 + 5 = 1$. Точка $(-2, 1)$.

Ответ: График функции $y = -x^2 + 5$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 5)$, ветви которой направлены вниз.

г) $y = 3x^2$

Графиком функции является парабола. Коэффициент $a = 3 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Коэффициент при $x^2$ по модулю больше 1, значит, график "уже", чем график функции $y=x^2$ (растянут вдоль оси $Oy$). Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.

Найдем несколько точек для построения графика:

Если $x = 0$, то $y = 3 \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.

Если $x = 1$, то $y = 3 \cdot 1^2 = 3$. Точка $(1, 3)$.

Если $x = -1$, то $y = 3 \cdot (-1)^2 = 3$. Точка $(-1, 3)$.

Если $x = 1.5$, то $y = 3 \cdot (1.5)^2 = 3 \cdot 2.25 = 6.75$. Точка $(1.5, 6.75)$.

Если $x = -1.5$, то $y = 3 \cdot (-1.5)^2 = 6.75$. Точка $(-1.5, 6.75)$.

Ответ: График функции $y = 3x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены вверх. График растянут вдоль оси $Oy$ в 3 раза по сравнению с графиком $y = x^2$.

Чтобы построить все графики в одной плоскости, следует начертить оси координат, выбрать подходящий масштаб (например, 1 клетка = 1 единица), отметить вычисленные точки для каждой функции и соединить их плавными кривыми, соответствующими параболам. Каждый график следует подписать.