Номер 1.13, страница 13 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1.13. На рисунке 5 дан график функции $y = f(x)$. Найдите:

а) область определения функции;

б) множество значений функции;

в) нули функции;

г) значения функций $f(-4)$, $f(0)$ и $f(4)$.

Рис. 5

а) область определения функции

Область определения функции – это множество всех допустимых значений аргумента $x$ (абсциссы), при которых функция существует. Чтобы найти область определения по графику, нужно спроецировать все точки графика на ось $Ox$.

Левая крайняя точка графика имеет абсциссу $x = -4$. Правая крайняя точка графика имеет абсциссу $x = 4$. График представляет собой непрерывную линию между этими значениями.

Следовательно, область определения функции – это все значения $x$ от -4 до 4 включительно.

Ответ: $D(f) = [-4, 4]$.

б) множество значений функции

Множество значений функции – это множество всех значений $y$ (ординаты), которые принимает функция. Чтобы найти множество значений по графику, нужно спроецировать все точки графика на ось $Oy$.

Самая низкая точка графика имеет ординату $y = -1$ (при $x=0$). Самая высокая точка графика имеет ординату $y = 3$ (при $x=4$). Функция принимает все значения между этими двумя крайними точками.

Следовательно, множество значений функции – это все значения $y$ от -1 до 3 включительно.

Ответ: $E(f) = [-1, 3]$.

в) нули функции

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции равно нулю, то есть $f(x)=0$. На графике это абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$.

Из графика видно, что он пересекает ось абсцисс в трех точках.

1. Первая точка пересечения имеет абсциссу $x = -3$.

2. Вторая точка пересечения имеет абсциссу $x = 1$.

3. Третья точка пересечения находится на отрезке прямой, соединяющем точки $(-2, 2)$ и $(0, -1)$. Найдем уравнение этой прямой. Угловой коэффициент $k = \frac{-1-2}{0-(-2)} = -\frac{3}{2}$. Уравнение прямой, проходящей через точку $(0,-1)$, имеет вид $y = -\frac{3}{2}x - 1$. Чтобы найти нуль функции, решим уравнение $0 = -\frac{3}{2}x - 1$, откуда $\frac{3}{2}x = -1$, следовательно, $x = -\frac{2}{3}$.

Таким образом, у функции три нуля.

Ответ: $x = -3$, $x = -\frac{2}{3}$, $x = 1$.

г) значения функций $f(-4)$, $f(0)$ и $f(4)$

Чтобы найти значение функции в конкретной точке по графику, нужно найти точку на графике с заданной абсциссой и определить её ординату.

- Для нахождения $f(-4)$ смотрим на точку графика с абсциссой $x = -4$. Координаты этой точки $(-4, -2)$. Значит, $f(-4) = -2$.

- Для нахождения $f(0)$ смотрим на точку графика с абсциссой $x = 0$. Это точка пересечения графика с осью $Oy$, её координаты $(0, -1)$. Значит, $f(0) = -1$.

- Для нахождения $f(4)$ смотрим на точку графика с абсциссой $x = 4$. Координаты этой точки $(4, 3)$. Значит, $f(4) = 3$.

Ответ: $f(-4) = -2$, $f(0) = -1$, $f(4) = 3$.