Номер 1.8, страница 13 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1.8. Найдите значение функции $y = g(x)$ в заданных точках:

а) $g(x) = x^2 - \frac{x+2}{x}; x_1 = -\frac{1}{4}; x_2 = 2; x_3 = 1,5;$

б) $g(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 5}; x_1 = 4; x_2 = 2; x_3 = -1;$

в) $g(x) = 3 - \cos 2x; x_1 = \frac{\pi}{2}; x_2 = \frac{\pi}{4}; x_3 = -\frac{\pi}{4};$

г) $g(x) = \frac{2}{x^2} + 3x; x_1 = t; x_2 = t + 2; x_3 = \frac{2}{t}.$

а) Дана функция $g(x) = x^2 - \frac{x+2}{x}$.

1. Найдем значение функции в точке $x_1 = -\frac{1}{4}$:

$g(-\frac{1}{4}) = (-\frac{1}{4})^2 - \frac{-\frac{1}{4} + 2}{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{16} - \frac{\frac{7}{4}}{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{16} - (-7) = \frac{1}{16} + 7 = \frac{1 + 112}{16} = \frac{113}{16}$.

2. Найдем значение функции в точке $x_2 = 2$:

$g(2) = 2^2 - \frac{2+2}{2} = 4 - \frac{4}{2} = 4 - 2 = 2$.

3. Найдем значение функции в точке $x_3 = 1,5$:

$g(1,5) = (1,5)^2 - \frac{1,5+2}{1,5} = 2,25 - \frac{3,5}{1,5} = \frac{9}{4} - \frac{7/2}{3/2} = \frac{9}{4} - \frac{7}{3} = \frac{27 - 28}{12} = -\frac{1}{12}$.

Ответ: $g(-\frac{1}{4}) = \frac{113}{16}$; $g(2) = 2$; $g(1,5) = -\frac{1}{12}$.

б) Дана функция $g(x) = \sqrt{x^2 - 3x + 5}$.

1. Найдем значение функции в точке $x_1 = 4$:

$g(4) = \sqrt{4^2 - 3 \cdot 4 + 5} = \sqrt{16 - 12 + 5} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$.

2. Найдем значение функции в точке $x_2 = 2$:

$g(2) = \sqrt{2^2 - 3 \cdot 2 + 5} = \sqrt{4 - 6 + 5} = \sqrt{-2 + 5} = \sqrt{3}$.

3. Найдем значение функции в точке $x_3 = -1$:

$g(-1) = \sqrt{(-1)^2 - 3 \cdot (-1) + 5} = \sqrt{1 + 3 + 5} = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: $g(4) = 3$; $g(2) = \sqrt{3}$; $g(-1) = 3$.

в) Дана функция $g(x) = 3 - \cos(2x)$.

1. Найдем значение функции в точке $x_1 = \frac{\pi}{2}$:

$g(\frac{\pi}{2}) = 3 - \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 3 - \cos(\pi) = 3 - (-1) = 4$.

2. Найдем значение функции в точке $x_2 = \frac{\pi}{4}$:

$g(\frac{\pi}{4}) = 3 - \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = 3 - \cos(\frac{\pi}{2}) = 3 - 0 = 3$.

3. Найдем значение функции в точке $x_3 = -\frac{\pi}{4}$:

$g(-\frac{\pi}{4}) = 3 - \cos(2 \cdot (-\frac{\pi}{4})) = 3 - \cos(-\frac{\pi}{2}) = 3 - \cos(\frac{\pi}{2}) = 3 - 0 = 3$.

Ответ: $g(\frac{\pi}{2}) = 4$; $g(\frac{\pi}{4}) = 3$; $g(-\frac{\pi}{4}) = 3$.

г) Дана функция $g(x) = \frac{2}{x^2} + 3x$.

1. Найдем значение функции в точке $x_1 = t$:

$g(t) = \frac{2}{t^2} + 3t$.

2. Найдем значение функции в точке $x_2 = t + 2$:

$g(t+2) = \frac{2}{(t+2)^2} + 3(t+2) = \frac{2}{t^2 + 4t + 4} + 3t + 6$.

3. Найдем значение функции в точке $x_3 = \frac{2}{t}$:

$g(\frac{2}{t}) = \frac{2}{(\frac{2}{t})^2} + 3(\frac{2}{t}) = \frac{2}{\frac{4}{t^2}} + \frac{6}{t} = 2 \cdot \frac{t^2}{4} + \frac{6}{t} = \frac{t^2}{2} + \frac{6}{t}$.

Ответ: $g(t) = \frac{2}{t^2} + 3t$; $g(t+2) = \frac{2}{t^2 + 4t + 4} + 3t + 6$; $g(\frac{2}{t}) = \frac{t^2}{2} + \frac{6}{t}$.